Mostre que \gamma=\{(1,1,1),(1,0,-1),(1,-2,1)\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{3} \cdot \gamma é uma base ortonormal? Caso negativo, obtenha uma base ortogonal de \mathbb{R}^{3} a partir de \gamma.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\gamma=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} com
v_{1}=(1,1,1),\quad v_{2}=(1,0,-1),\quad v_{3}=(1,-2,1),
e pede para mostrarmos que \gamma é uma base ortogonal de \mathbb{R}^{3}, verificar se é ortonormal e, em caso negativo, obter uma base ortonormal a partir de \gamma. Vamos usar o produto interno usual em \mathbb{R}^{3} e a definição de conjunto ortogonal e de base ortonormal.

Passo 2

Para testar ortogonalidade calculamos os produtos internos
\langle v_{1},v_{2}\rangle =1\cdot1+1\cdot0+1\cdot(-1)=0,
\langle v_{1},v_{3}\rangle =1\cdot1+1\cdot(-2)+1\cdot1=0,
\langle v_{2},v_{3}\rangle =1\cdot1+0\cdot(-2)+(-1)\cdot1=0.
Como todos são zero, v_{1},v_{2},v_{3} são mutuamente ortogonais.

Passo 3

Em \mathbb{R}^{3}, qualquer conjunto de três vetores ortogonais não nulos é linearmente independente. Como temos três vetores em um espaço de dimensão 3, concluímos que \gamma é de fato uma base de \mathbb{R}^{3}. Como já demonstramos ortogonalidade, \gamma é uma base ortogonal.

Passo 4

Agora verificamos as normas para checar ortonormalidade:
\|v_{1}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3},\quad \|v_{2}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2},\quad \|v_{3}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}.
Como nenhuma destas normas é igual a 1, a base \gamma não é ortonormal.

Passo 5

Para obter uma base ortonormal basta normalizar cada vetor de \gamma. Definimos
u_{1}=\frac{v_{1}}{\|v_{1}\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), \quad u_{2}=\frac{v_{2}}{\|v_{2}\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1), \quad u_{3}=\frac{v_{3}}{\|v_{3}\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1).
Os vetores u_{1},u_{2},u_{3} continuam ortogonais (porque dividimos por escalar) e agora têm norma 1, logo formam uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

A base \gamma é ortogonal, mas não ortonormal.
Uma base ortonormal obtida a partir de \gamma é:
\left\{ \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1), \;\; \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1), \;\; \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1) \right\}.

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