Mostre que, para um gás perfeito à pressão constante, a velocidade do som no gás é função da temperatura. Que função é essa?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que, num gás perfeito sob pressão constante, a velocidade do som depende só da temperatura, e dizer qual é essa função. O conteúdo é Termodinâmica/Óptica de meios contínuos (velocidade do som em fluidos). Vamos precisar de:
- Lei dos gases ideais:
. - Fórmula geral da velocidade do som num meio compressível:
.
Passo 2
Primeiro, lembra que num processo adiabático para um gás ideal vale
,
onde é a razão de calores específicos.
Isso implica
.
Logo podemos achar
,
porque .
onde
Isso implica
Logo podemos achar
porque
Passo 3
Substituindo na fórmula da velocidade do som:
.
Agora, pela lei dos gases ideais em forma de densidade ( ):
Agora, pela lei dos gases ideais em forma de densidade (
Passo 4
Então
Se preferir em função da constante universal e da massa molar
, lembre que
,
então
Se preferir em função da constante universal
então
Resposta
A velocidade do som num gás perfeito à pressão constante varia com a raiz da temperatura: