O tensor abaixo descreve o estado de tensão em um ponto de um sólido genérico. Com base nesse tensor, determine: (a) os invariantes de tensão; (b) as tensões principais; © a máxima tensão de cisalhamento e (d) as direções principais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um tensor de tensões
E pede:
(a) invariantes de tensão (I₁, I₂, I₃),
(b) tensões principais (λ₁, λ₂, λ₃),
© máxima tensão de cisalhamento,
(d) direções principais (autovetores).
(a) invariantes de tensão (I₁, I₂, I₃),
(b) tensões principais (λ₁, λ₂, λ₃),
© máxima tensão de cisalhamento,
(d) direções principais (autovetores).
Conteúdo: Álgebra Linear (autovalores e autovetores) + Propriedades de tensores.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Definição de invariantes via traço, soma de menores e determinante.
- Equação característica para achar os autovalores.
- Cálculo de autovetores resolvendo
.
Passo 2
Calcular os invariantes:
- I₁ = traço = σ₁₁+σ₂₂+σ₃₃ = 4 + (−6) + 1 = −1.
- I₂ = soma dos determinantes das submatrizes 2×2 principais:
Calculando:
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I3 = 4det-6&22&1 -1det1&20&1 +0cdot(cdots) =4(-10)-1(1)= -40-1=-41 .
3) I₃ = . Expandindo por cofatores:
3) I₃ =
Passo 3
Agora a equação característica é
ou seja
Resolvendo numericamente (método de Newton, tentativa e erro, etc.), achamos aproximados:
Passo 4
A máxima tensão de cisalhamento em 3D é
Passo 5
Para cada λᵢ a gente resolve
. Vou dar o resultado sem ficar repetindo o sistema inteiro:
- Para λ₁≈4,12:
v₁∝(1,;0{,}118,;0{,}076). - Para λ₂≈1,51:
v₂∝(1,;-2{,}492,;-9{,}81). - Para λ₃≈−6,63:
v₃∝(1,;-10{,}626,;2{,}829).
Esses vetores são as direções principais (normalizados se você quiser).
Resposta
(a)
v1propto(1,0,118,0,076), v2propto(1,-2,492,-9,81), v3propto(1,-10,626,2,829) .
(b) Tensões principais .
© .
(d) Direções principais dadas pelos autovetores
(b) Tensões principais
©
(d) Direções principais dadas pelos autovetores