O tensor abaixo descreve o estado de tensão em um ponto de um sólido genérico. Com base nesse tensor, determine: (a) os invariantes de tensão; (b) as tensões principais; © a máxima tensão de cisalhamento e (d) as direções principais.
sigmai j=[ccc 4 & 1 & 0 1 & -6 & 2 0 & 2 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um tensor de tensões
sigmaij= 4 & 1 & 0 1 & -6 & 2 0 & 2 & 1
E pede:
(a) invariantes de tensão (I₁, I₂, I₃),
(b) tensões principais (λ₁, λ₂, λ₃),
© máxima tensão de cisalhamento,
(d) direções principais (autovetores).
Conteúdo: Álgebra Linear (autovalores e autovetores) + Propriedades de tensores.
O que vamos usar:
  • Definição de invariantes via traço, soma de menores e determinante.
  • Equação característica para achar os autovalores.
  • Cálculo de autovetores resolvendo .

Passo 2

Calcular os invariantes:
  1. I₁ = traço = σ₁₁+σ₂₂+σ₃₃ = 4 + (−6) + 1 = −1.
  2. I₂ = soma dos determinantes das submatrizes 2×2 principais:
I2 = det4&11&-6 +det4&00&1 +det-6&22&1
Calculando:
det4&11&-6=-25, det4&00&1=4, det-6&22&1=-10,
logo I3 = 4det-6&22&1 -1det1&20&1 +0cdot(cdots) =4(-10)-1(1)= -40-1=-41 .
3) I₃ = . Expandindo por cofatores:

Passo 3

Agora a equação característica é
det(sigma - lambda I)=0 ;Longrightarrow; lambda^3 - I1lambda^2 + I2lambda - I3 = 0
ou seja
lambda^3 +1,lambda^2 -31,lambda +41 = 0
Resolvendo numericamente (método de Newton, tentativa e erro, etc.), achamos aproximados:
boxedlambda1 approx 4,12, lambda2 approx 1,51, lambda3 approx -6,63

Passo 4

A máxima tensão de cisalhamento em 3D é
taumax = lambdamax - lambdamin2 = 4,12 - (-6,63)2 approx 5,37

Passo 5

Para cada λᵢ a gente resolve . Vou dar o resultado sem ficar repetindo o sistema inteiro:
  • Para λ₁≈4,12:
    v₁∝(1,;0{,}118,;0{,}076).
  • Para λ₂≈1,51:
    v₂∝(1,;-2{,}492,;-9{,}81).
  • Para λ₃≈−6,63:
    v₃∝(1,;-10{,}626,;2{,}829).
Esses vetores são as direções principais (normalizados se você quiser).

Resposta

(a) v1propto(1,0,118,0,076), v2propto(1,-2,492,-9,81), v3propto(1,-10,626,2,829) .
(b) Tensões principais .
© .
(d) Direções principais dadas pelos autovetores

Exercícios relacionados