Mostre que o gráfico logarítmico, na escala decibel (dB), da Função de Resposta em Frequência de um instrumento de secunda ordem é dado por uma assíntota de alta frequência ( 40 dB / década) e uma assíntota de baixa ( 0 dB / década). Discuta o que ocorre nas proximidades da frequência natural do sistema.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente mostrar que, ao desenhar em escala logarítmica (Bode) o ganho em dB de uma função de segunda ordem, teremos:
  • Na baixa frequência (ω→0), uma reta com pente 0 dB/década.
  • Na alta frequência (ω→∞), uma reta com pente –40 dB/década.
    E ainda discutir o que rola perto da frequência natural do sistema.
    Conteúdo: Bode plot de sistemas de 2ª ordem, uso de .
    O que precisamos:
  1. A expressão padrão da função de transferência de 2ª ordem (normalizada).
  2. Aproximações para ω≪ωₙ e ω≫ωₙ.
  3. Entender o pico de ressonância em torno de ωₙ.

Passo 2

Escrevendo a função de transferência normalizada em frequência:\
H(jomega) = 1raizl(1 - (tfracomegaomegan)^2r)^2 + l(2zeta,tfracomegaomeganr)^2
O ganho em dB é
G(omega) = 20log10l|H(jomega)r| = -10log10!l[l(1 - (tfracomegaomegan)^2r)^2 + (2zeta,tfracomegaomegan)^2r]

Passo 3

Baixa frequência (ω≪ωₙ):
  • Então G(omega)approx -10log10(1) = 0;dB é muito pequeno, e podemos aproximar
    e .
  • Logo o termo dentro do log é ≈1, e
  • Como esse valor é constante quando ω varia, a reta tem pente 0 dB/década.

Passo 4

Alta frequência (ω≫ωₙ):
  • Agora l(1 - (tfracomegaomegan)^2r)^2 ≈ (tfracomegaomegan)^4 . O termo dominante no radicando é |H(jomega)| ≈ 1(tfracomegaomegan)^2, G(omega) ≈ 20log10!l((tfracomegaomegan)^-2r) = -40,log10!l(tfracomegaomeganr) , pois
  • Então
  • A inclinação de é –40 dB/década.

Passo 5

Perto da frequência natural (ω≈ωₙ):
  • A gente não pode simplificar tão drasticamente como antes.
  • Surge um pico (ressonância) cujo valor máximo depende do amortecimento ζ.
  • Se ζ<0,707, aparece um “bump” acima de 0 dB; para ζ≥0,707, o ganho nunca ultrapassa 0 dB.
  • Esse comportamento é a famosa “ressonância”, reflexo de armazenar energia no sistema.

Resposta

Baixa frequência: reta 0 dB/década.
Alta frequência: reta –40 dB/década.
Próximo a ωₙ: aparece pico de ressonância cujo tamanho depende do amortecimento ζ.

Exercícios relacionados