Mostre que o gráfico logarítmico, na escala decibel (dB), da Função de Resposta em Frequência de um instrumento de secunda ordem é dado por uma assíntota de alta frequência (
década) e uma assíntota de baixa (
década). Discuta o que ocorre nas proximidades da frequência natural do sistema.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente mostrar que, ao desenhar em escala logarítmica (Bode) o ganho em dB de uma função de segunda ordem, teremos:
- Na baixa frequência (ω→0), uma reta com pente 0 dB/década.
- Na alta frequência (ω→∞), uma reta com pente –40 dB/década.
E ainda discutir o que rola perto da frequência natural do sistema.
Conteúdo: Bode plot de sistemas de 2ª ordem, uso de.
O que precisamos:
- A expressão padrão da função de transferência de 2ª ordem (normalizada).
- Aproximações para ω≪ωₙ e ω≫ωₙ.
- Entender o pico de ressonância em torno de ωₙ.
Passo 2
Escrevendo a função de transferência normalizada em frequência:\
O ganho em dB é
Passo 3
Baixa frequência (ω≪ωₙ):
- Então
é muito pequeno, e podemos aproximarG(omega)approx -10log10(1) = 0;dB
e . - Logo o termo dentro do log é ≈1, e
- Como esse valor é constante quando ω varia, a reta tem pente 0 dB/década.
Passo 4
Alta frequência (ω≫ωₙ):
- Agora
. O termo dominante no radicando él(1 - (tfracomegaomegan)^2r)^2 ≈ (tfracomegaomegan)^4 , pois|H(jomega)| ≈ 1(tfracomegaomegan)^2, G(omega) ≈ 20log10!l((tfracomegaomegan)^-2r) = -40,log10!l(tfracomegaomeganr) - Então
- A inclinação de
é –40 dB/década.
Passo 5
Perto da frequência natural (ω≈ωₙ):
- A gente não pode simplificar tão drasticamente como antes.
- Surge um pico (ressonância) cujo valor máximo depende do amortecimento ζ.
- Se ζ<0,707, aparece um “bump” acima de 0 dB; para ζ≥0,707, o ganho nunca ultrapassa 0 dB.
- Esse comportamento é a famosa “ressonância”, reflexo de armazenar energia no sistema.
Resposta
Baixa frequência: reta 0 dB/década.
Alta frequência: reta –40 dB/década.
Próximo a ωₙ: aparece pico de ressonância cujo tamanho depende do amortecimento ζ.
Alta frequência: reta –40 dB/década.
Próximo a ωₙ: aparece pico de ressonância cujo tamanho depende do amortecimento ζ.