Uma entrada rampa qi(t)=llq0=0 & t <= 0 barqi s t & t >0 é aplicada em um instrumento de 1^0 ordem. Pedese:
a-) Calcular a resposta do sistema

Passo 1

Beleza, antes de mais nada vamos resumir o que o exercício pede e listar o que a gente vai usar.
Enunciado em miúdos: temos uma entrada rampa
qi(t) = 0, & t <= 0, bar qis,t, & t>0
aplicada a um sistema de primeira ordem (instrumento de 1ª ordem). A missão é achar a saída .
Conteúdo/matéria: sistemas dinâmicos de 1ª ordem, transformada de Laplace, frações parciais e transformada inversa de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a transformada de Laplace de uma rampa de inclinação Lr(t) =bar qiss^2, .
Se para , então
Isso vale porque .

Passo 3

Agora, modelamos o instrumento de 1ª ordem. Geralmente a função de transferência de um sistema de 1ª ordem com ganho unitário é
G(s)=1tau,s+1,
onde é a constante de tempo do instrumento.

Passo 4

Em Laplace, a saída fica
Q0(s)=G(s),Qi(s) =1tau s+1,cdotbar qiss^2 =bar qiss^2,(tau s+1)
Agora a gente vai quebrar isso em frações parciais para voltar ao domínio do tempo.

Passo 5

Assumimos a forma
bar qiss^2(tau s+1) =As+Bs^2+Ctau s+1
Multiplicando tudo por bar qis = A,s,(tau s+1)+B,(tau s+1)+C,s^2 :
Para achar , podemos comparar coeficientes ou fazer choques de valores de . Se compararmos coeficientes em potências de , obtemos:
  • Coeficiente de : .
  • Coeficiente de : .
  • Coeficiente de : .
Logo:
  1. .
  2. .
  3. .

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa de cada termo:
  • q0(t) = Acdot 1 + Bcdot t + Ccdot 1taue^-t/tau = -taubar qis;+;bar qis,t;+;taubar qis;e^-t/tau ,
  • ,
  • .
Então a saída em função do tempo é

Resposta

Para boxedq0(t) =bar qis,l(t-taur)+tau,bar qis,e^-t/tau =bar qis,l(t-tau[1-e^-t/tau]r) , a resposta do sistema de primeira ordem à entrada rampa é

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