Uma entrada rampa
é aplicada em um instrumento de
ordem. Pedese:
a-) Calcular a resposta do sistema
a-) Calcular a resposta do sistema
Passo 1
Beleza, antes de mais nada vamos resumir o que o exercício pede e listar o que a gente vai usar.
Enunciado em miúdos: temos uma entrada rampa
Enunciado em miúdos: temos uma entrada rampa
aplicada a um sistema de primeira ordem (instrumento de 1ª ordem). A missão é achar a saída
.
Conteúdo/matéria: sistemas dinâmicos de 1ª ordem, transformada de Laplace, frações parciais e transformada inversa de Laplace.
Conteúdo/matéria: sistemas dinâmicos de 1ª ordem, transformada de Laplace, frações parciais e transformada inversa de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a transformada de Laplace de uma rampa de inclinação
.
Se para
, então
Se
Isso vale porque
.
Passo 3
Agora, modelamos o instrumento de 1ª ordem. Geralmente a função de transferência de um sistema de 1ª ordem com ganho unitário é
onde
é a constante de tempo do instrumento.
Passo 4
Em Laplace, a saída fica
Agora a gente vai quebrar isso em frações parciais para voltar ao domínio do tempo.
Passo 5
Assumimos a forma
Multiplicando tudo por
:
Para achar
, podemos comparar coeficientes ou fazer choques de valores de
. Se compararmos coeficientes em potências de
, obtemos:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Logo:
-
. -
⇒ . -
⇒ .
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa de cada termo:
-
, -
, -
.
Então a saída em função do tempo é
Resposta
Para
, a resposta do sistema de primeira ordem à entrada rampa é