Mostre que o gráfico de P(t)=(t, 1+tt, 1-t^2t), para t>0 situa-se no plano x-y+z+1=0.

Passo 1

A questão nos dá a curva paramétrica P(t) = (x(t), y(t), z(t)) = l(t, 1+tt, 1 - t^2tr) para t>0 e pede para mostrar que todo ponto dessa curva satisfaz a equação do plano x - y + z + 1 = 0. O conteúdo aqui é de parametrização de curvas e teste de pertencimento a um plano.

Passo 2

Para verificar o pertencimento, tomamos as coordenadas x = t, y = 1+tt e z = 1 - t^2t e substituímos na expressão x - y + z + 1. Vamos simplificar passo a passo:
Começamos por agrupar -y + z com o mesmo denominador t:
-y + z = -1+tt + 1 - t^2t = -(1+t) + (1 - t^2)t = -1 - t + 1 - t^2t = -t - t^2t = -(t + 1)
Agora montamos toda a soma:
x - y + z + 1 = t + l[-(t+1)r] + 1 = t - t - 1 + 1 = 0

Passo 3

Como a expressão x - y + z + 1 se anula para todo t>0, concluímos que cada ponto P(t) está no plano dado.

Resposta

Para todo t>0, temos x - y + z + 1 = 0, logo o gráfico de P(t) situa-se no plano x - y + z + 1 = 0.

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