Considere a curva C obtida como interseçãoao das seguintes superfícies: z=x^2+y^2 e z=4-2 x-4 y. Pede-se:
encontrar a curva, identifica-la e escrever a parametrização da curva C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a curva de interseção $ C $ das superfícies $ z = x^{2} + y^{2} $ (que é um paraboloide) e $ z = 4 - 2x - 4y $ (que é um plano). Precisamos identificar que tipo de curva é $ C $ e escrever uma parametrização para ela. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, como equações de superfícies e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a curva de interseção $ C $, vamos igualar as duas equações que definem as superfícies:
C

Passo 3

Agora, vamos rearranjar os termos para organizar a equação:
x^2 + 2x + y^2 + 4y = 4

Passo 4

Para identificar melhor a curva, vamos completar os quadrados para as variáveis $ x $ e $ y $:
x
Isso simplifica para:
y

Passo 5

Observamos que a equação $ (x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9 $ representa um círculo com centro em $ (-1, -2) $ e raio $ 3 $. Portanto, a curva de interseção $ C $ é um círculo.

Passo 6

Para parametrizar o círculo, podemos usar um parâmetro angular $ \theta $ que varia de $ 0 $ a $ 2\pi $. As equações paramétricas ficam:
theta

Passo 7

Substituindo $ x $ e $ y $ na expressão para $ z $:
x
Simplificando:
y
Como $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $:
z

Resposta

A curva $ C $ é um círculo de raio 3 com centro em $ (-1, -2) $ e sua parametrização é dada por:
C
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

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