Considere a curva
obtida como interseçãoao das seguintes superfícies:
e
. Pede-se:
determinar uma equação da reta tangente à curva no ponto
.
determinar uma equação da reta tangente à curva no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de cálculo envolvendo curvas e superfícies. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva $ C $ no ponto $ (2, -2, 8) $. As superfícies que formam essa curva são dadas por:
- $ z = x^{2} + y^{2} $ (uma parábola)
- $ z = 4 - 2x - 4y $ (um plano)
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e vetores normais para encontrar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais das duas superfícies em relação às variáveis $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos dão os vetores normais às superfícies em qualquer ponto.
Para a superfície $ z = x^{2} + y^{2} $:
As derivadas parciais são:
Então, o vetor normal à superfície no ponto $ (2, -2, 8) $ é:
Para a superfície $ z = 4 - 2x - 4y $:
As derivadas parciais são:
Então, o vetor normal à superfície no ponto $ (2, -2, 8) $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar a direção da reta tangente à curva $ C $, que é a interseção das duas superfícies, precisamos achar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores normais $ \mathbf{n}_1 $ e $ \mathbf{n}_2 $. Isso é feito calculando o produto vetorial desses dois vetores.
Calculando $ \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 $:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 6:
Passo 4
Finalmente, vamos escrever a equação paramétrica da reta tangente usando o ponto $ (2, -2, 8) $ e o vetor direção $ \mathbf{d} = (0, 1, -4) $.
As equações paramétricas ficam:
Onde $ t $ é o parâmetro.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto $ (2, -2, 8) $ é dada por:
Onde $ t $ é um parâmetro real.