Considere a curva C obtida como interseçãoao das seguintes superfícies: z=x^2+y^2 e z=4-2 x-4 y. Pede-se:
determinar uma equação da reta tangente à curva no ponto (2,-2,8).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de cálculo envolvendo curvas e superfícies. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva $ C $ no ponto $ (2, -2, 8) $. As superfícies que formam essa curva são dadas por:
  • $ z = x^{2} + y^{2} $ (uma parábola)
  • $ z = 4 - 2x - 4y $ (um plano)
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e vetores normais para encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais das duas superfícies em relação às variáveis $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos dão os vetores normais às superfícies em qualquer ponto.
Para a superfície $ z = x^{2} + y^{2} $:
x
As derivadas parciais são:
y
Então, o vetor normal à superfície no ponto $ (2, -2, 8) $ é:
z = x^2 + y^2
Para a superfície $ z = 4 - 2x - 4y $:
f(x, y) = x^2 + y^2 - z = 0
As derivadas parciais são:
fx = 2x, fy = 2y, fz = -1
Então, o vetor normal à superfície no ponto $ (2, -2, 8) $ é:
(2, -2, 8)

Passo 3

Agora, para encontrar a direção da reta tangente à curva $ C $, que é a interseção das duas superfícies, precisamos achar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores normais $ \mathbf{n}_1 $ e $ \mathbf{n}_2 $. Isso é feito calculando o produto vetorial desses dois vetores.
Calculando $ \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 $:
C
n1
n2
n1 times n2
d = n1 times n2 = i & j & k 4 & -4 & -1 -2 & -4 & -1
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 6:
d = i cdot ((-4)(-1) - (-1)(-4)) - j cdot ((4)(-1) - (-1)(-2)) + k cdot ((4)(-4) - (-4)(-2))

Passo 4

Finalmente, vamos escrever a equação paramétrica da reta tangente usando o ponto $ (2, -2, 8) $ e o vetor direção $ \mathbf{d} = (0, 1, -4) $.
As equações paramétricas ficam:
(2, -2, 8)
Onde $ t $ é o parâmetro.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto $ (2, -2, 8) $ é dada por:
(2, -2, 8)
Onde $ t $ é um parâmetro real.

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