Mostre que se uma série convergente de números reais contém apenas um número finito de termos negativos, então é absolutamente convergente.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dado: uma série de números reais
que é convergente. - Dado: a série contém apenas um número finito de termos negativos (ou seja, só há finitamente muitos índices
tais que ). - Pedido: provar que a série é absolutamente convergente, isto é, provar que
converge.
Passo 2
Definições e notação que vamos usar (explicando cada coisa).
- Serie convergente: significa que as somas parciais
têm limite finito quando
. Ou seja, existe
tal que
.
- Absoluta convergência: a série
é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos
converge.
- Notação:
vai denotar um índice inteiro que escolheremos para separar os primeiros termos (um número finito) do resto (a “cauda” da série).
Passo 3
Explorar a hipótese “apenas finitamente muitos termos negativos” e escolher
.
Como há somente finitamente muitos
com
, existe um inteiro
tal que, para todo
, tem-se
(Escolhe-se
maior do que todos os índices em que aparece um termo negativo. Isso é possível porque a colecção de índices negativos é finita.)
Passo 4
Observar o que ocorre com os valores absolutos a partir de
e decompor a soma
.
Para
temos
porque
. Assim podemos escrever
Explicação: o primeiro somatório à direita é uma soma de um número finito de termos absolutos, logo é um número finito (não dá problema algum). Resta verificar a convergência do segundo somatório
.
Passo 5
Mostrar que a cauda
converge.
Defina as somas parciais
(já usadas antes). Para
a soma parcial da cauda até
é
Como a série
converge,
existe e é finito. Portanto
que é um número finito. Isso mostra que a série
converge. (Em palavras: a cauda de uma série convergente é sempre convergente; aqui usamos que as somas parciais da cauda são simplesmente as somas parciais totais menos uma soma finita.)
Passo 6
Concluir a absoluta convergência.
Voltando à decomposição do Passo 4,
O primeiro termo é finito (soma finita) e o segundo termo foi mostrado convergente no Passo 5. Soma de um número finito com uma série convergente é finita, logo
converge. Portanto a série original é absolutamente convergente.
Resposta
A série
converge (ou seja, a série é absolutamente convergente).