Mostre que se uma série convergente de números reais contém apenas um número finito de termos negativos, então é absolutamente convergente.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: uma série de números reais \sum_{n=1}^{\infty} a_n que é convergente.
  • Dado: a série contém apenas um número finito de termos negativos (ou seja, só há finitamente muitos índices n tais que a_n<0).
  • Pedido: provar que a série é absolutamente convergente, isto é, provar que \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge.

Passo 2

Definições e notação que vamos usar (explicando cada coisa).
  • Serie convergente: significa que as somas parciais
S_m=\sum_{n=1}^{m} a_n
têm limite finito quando m\to\infty. Ou seja, existe S\in\mathbb{R} tal que \lim_{m\to\infty} S_m = S.
  • Absoluta convergência: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|
converge.
  • Notação: N vai denotar um índice inteiro que escolheremos para separar os primeiros termos (um número finito) do resto (a “cauda” da série).

Passo 3

Explorar a hipótese “apenas finitamente muitos termos negativos” e escolher N.
Como há somente finitamente muitos n com a_n<0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, tem-se
a_n\ge 0.
(Escolhe-se N maior do que todos os índices em que aparece um termo negativo. Isso é possível porque a colecção de índices negativos é finita.)

Passo 4

Observar o que ocorre com os valores absolutos a partir de N e decompor a soma \sum |a_n|.
Para n\ge N temos |a_n|=a_n porque a_n\ge 0. Assim podemos escrever
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{N-1} |a_n| \;+\; \sum_{n=N}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{N-1} |a_n| \;+\; \sum_{n=N}^{\infty} a_n.
Explicação: o primeiro somatório à direita é uma soma de um número finito de termos absolutos, logo é um número finito (não dá problema algum). Resta verificar a convergência do segundo somatório \sum_{n=N}^{\infty} a_n.

Passo 5

Mostrar que a cauda \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge.
Defina as somas parciais S_m=\sum_{n=1}^{m} a_n (já usadas antes). Para m\ge N a soma parcial da cauda até m é
T_m=\sum_{n=N}^{m} a_n = S_m - S_{N-1}.
Como a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, \lim_{m\to\infty} S_m = S existe e é finito. Portanto
\lim_{m\to\infty} T_m = \lim_{m\to\infty} (S_m - S_{N-1}) = S - S_{N-1},
que é um número finito. Isso mostra que a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge. (Em palavras: a cauda de uma série convergente é sempre convergente; aqui usamos que as somas parciais da cauda são simplesmente as somas parciais totais menos uma soma finita.)

Passo 6

Concluir a absoluta convergência.
Voltando à decomposição do Passo 4,
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = \sum_{n=1}^{N-1} |a_n| \;+\; \sum_{n=N}^{\infty} a_n.
O primeiro termo é finito (soma finita) e o segundo termo foi mostrado convergente no Passo 5. Soma de um número finito com uma série convergente é finita, logo \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge. Portanto a série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge (ou seja, a série é absolutamente convergente).

Exercícios relacionados