Mostre que em um grupo de 367 pessoas, pelo menos duas fazem o aniversário no mesmo dia.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num grupo de
pessoas, pelo menos duas fazem aniversário no mesmo dia.
Informações relevantes que vamos usar (assumidas como verdadeiros para o problema):
Informações relevantes que vamos usar (assumidas como verdadeiros para o problema):
- Número de pessoas no grupo:
. - Número máximo de dias distintos do ano em que alguém pode nascer:
(contando o dia de fevereiro; se ignorássemos anos bissextos seriam , e o argumento fica ainda mais forte).
Passo 2
Modelagem simples (como pensar o problema): imagine que cada pessoa é um “objeto” e cada dia do ano é uma “caixa”. Colocar uma pessoa na caixa correspondente ao dia do seu aniversário é uma forma natural de organizar a informação. Assim:
- Objetos = pessoas =
. - Caixas = dias do ano =
.
Passo 3
Enunciado do princípio que vamos usar (Princípio da Casa dos Pombos), explicado de forma didática: se temos
objetos distribuídos entre
caixas e
, então alguma caixa contém pelo menos dois objetos. Intuição: se cada caixa tivesse no máximo um objeto, o total de objetos não poderia passar de
; portanto se há mais objetos do que caixas, ao menos uma caixa precisa conter dois ou mais objetos.
Passo 4
Pequena demonstração do princípio por contradição (para ficar seguro na prova): suponha que nenhuma caixa tem dois objetos, isto é, cada caixa tem no máximo um objeto. Então o número total de objetos seria no máximo o número de caixas:
Mas se
isso é impossível. Logo a suposição é falsa e alguma caixa tem pelo menos dois objetos. Fim da demonstração.
Passo 5
Aplicando o princípio ao nosso modelo: aqui temos
objetos (pessoas) e
caixas (dias do ano). Como
então, pelo Princípio da Casa dos Pombos, existe pelo menos uma caixa que contém pelo menos duas pessoas — ou seja, existe pelo menos um dia do ano em que pelo menos duas pessoas do grupo fazem aniversário.
Passo 6
Outra forma de ver numericamente (usando teto/parte inteira): o princípio também dá que existe uma caixa com pelo menos
objetos. Substituindo
e
:
ou seja, algum dia tem pelo menos
aniversariantes.
Passo 7
Resumo final e incentivo: portanto, sem precisar conhecer quem são as pessoas nem quais datas elas escolheram, a contagem pura garante que em qualquer grupo de
pessoas haverá pelo menos duas com aniversário no mesmo dia — uma aplicação direta e poderosa do Princípio da Casa dos Pombos. Isso é bem útil em provas: quando você tem mais objetos que caixas, duplicação é inevitável. Você conseguiu entender a ideia — ótima! 😃
Resposta
Sim: pelo Princípio da Casa dos Pombos, como há no máximo
dias possíveis e há
pessoas, existe pelo menos um dia em que pelo menos
pessoas fazem aniversário.