Mostre que em um grupo de 367 pessoas, pelo menos duas fazem o aniversário no mesmo dia.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num grupo de \,367\, pessoas, pelo menos duas fazem aniversário no mesmo dia.
Informações relevantes que vamos usar (assumidas como verdadeiros para o problema):
  • Número de pessoas no grupo: \,367\,.
  • Número máximo de dias distintos do ano em que alguém pode nascer: \,366\, (contando o dia 29 de fevereiro; se ignorássemos anos bissextos seriam \,365\,, e o argumento fica ainda mais forte).

Passo 2

Modelagem simples (como pensar o problema): imagine que cada pessoa é um “objeto” e cada dia do ano é uma “caixa”. Colocar uma pessoa na caixa correspondente ao dia do seu aniversário é uma forma natural de organizar a informação. Assim:
  • Objetos = pessoas = \,367\,.
  • Caixas = dias do ano = \,366\,.

Passo 3

Enunciado do princípio que vamos usar (Princípio da Casa dos Pombos), explicado de forma didática: se temos \,n\, objetos distribuídos entre \,m\, caixas e \,n>m, então alguma caixa contém pelo menos dois objetos. Intuição: se cada caixa tivesse no máximo um objeto, o total de objetos não poderia passar de \,m; portanto se há mais objetos do que caixas, ao menos uma caixa precisa conter dois ou mais objetos.

Passo 4

Pequena demonstração do princípio por contradição (para ficar seguro na prova): suponha que nenhuma caixa tem dois objetos, isto é, cada caixa tem no máximo um objeto. Então o número total de objetos seria no máximo o número de caixas:
n \le m.
Mas se n>m isso é impossível. Logo a suposição é falsa e alguma caixa tem pelo menos dois objetos. Fim da demonstração.

Passo 5

Aplicando o princípio ao nosso modelo: aqui temos n=367 objetos (pessoas) e m=366 caixas (dias do ano). Como
367 > 366,
então, pelo Princípio da Casa dos Pombos, existe pelo menos uma caixa que contém pelo menos duas pessoas — ou seja, existe pelo menos um dia do ano em que pelo menos duas pessoas do grupo fazem aniversário.

Passo 6

Outra forma de ver numericamente (usando teto/parte inteira): o princípio também dá que existe uma caixa com pelo menos
\left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil
objetos. Substituindo n=367 e m=366:
\left\lceil \frac{367}{366} \right\rceil = \left\lceil 1{,}0027\ldots \right\rceil = 2,
ou seja, algum dia tem pelo menos \,2\, aniversariantes.

Passo 7

Resumo final e incentivo: portanto, sem precisar conhecer quem são as pessoas nem quais datas elas escolheram, a contagem pura garante que em qualquer grupo de \,367\, pessoas haverá pelo menos duas com aniversário no mesmo dia — uma aplicação direta e poderosa do Princípio da Casa dos Pombos. Isso é bem útil em provas: quando você tem mais objetos que caixas, duplicação é inevitável. Você conseguiu entender a ideia — ótima! 😃

Resposta

Sim: pelo Princípio da Casa dos Pombos, como há no máximo \,366\, dias possíveis e há \,367\, pessoas, existe pelo menos um dia em que pelo menos \,2\, pessoas fazem aniversário.

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