Questāo 4 (valor 20): O tempo de vida útil (em horas) de um semicondutor a laser, a uma potência constante, é distribuida como
. Acima de que valor se encontram
dos maiores tempo de vida útil?
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações:
- O tempo de vida útil
segue a distribuição normal com média e variância dadas: . - A pergunta é: “Acima de que valor se encontram
dos maiores tempos de vida útil?” — ou seja, qual é o limite tal que das observações estão acima de .
Passo 2
Vamos entender o que significam os parâmetros da normal fornecida (isso é importante para fazer a conta correta):
-
é a média da distribuição. Aqui (horas). A média é o “centro” da distribuição. -
é a variância. Aqui . A raiz da variância é o desvio-padrão , que mede a dispersão em torno da média. Portanto (horas).
Sempre que tivermose quisermos quantis, usamos esses dois números.
Passo 3
Transformação para a normal padrão e interpretação do percentil:
- Se queremos o valor
tal que dos tempos estão acima dele, isso significa . - Equivalente:
. Ou seja, é o percentil de ordem (90.º percentil). - Para usar tabelas ou a normal padrão, fazemos a padronização:
Assim
Se chamarmos
o quantil
da normal padrão, temos
Passo 4
Encontrando
:
- Pela tabela da normal padrão ou pela função inversa da normal, o quantil de
é aproximadamente . (Pode-se confirmar em tabela com linha 1,2 e coluna 0,08 → cerca de ; tabelas mais precisas dão .)
Passo 5
Cálculo numérico do limite
:
Substituindo os valores:
Calculemos o produto passo a passo:
Primeiro
. Então multiplicando por
:
Agora somamos à média:
Passo 6
Interpretação e arredondamento:
- Assim, aproximadamente
horas é o valor acima do qual estão os maiores tempos de vida útil. - Em termos práticos, pode-se reportar arredondando para horas inteiras:
horas. - Mensagem rápida de ânimo: chegou-se ao resultado usando apenas média, desvio-padrão e a tabela/inversa da normal padrão — procedimento direto para esse tipo de pergunta.