Questāo 4 (valor 20): O tempo de vida útil (em horas) de um semicondutor a laser, a uma potência constante, é distribuida como N\left(7.000,600^{2}\right). Acima de que valor se encontram 10 \% dos maiores tempo de vida útil?

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações:
  • O tempo de vida útil X segue a distribuição normal com média e variância dadas: \,X \sim N\bigl(7.000,\,600^{2}\bigr).
  • A pergunta é: “Acima de que valor se encontram 10\% dos maiores tempos de vida útil?” — ou seja, qual é o limite x_{0} tal que 10\% das observações estão acima de x_{0}.

Passo 2

Vamos entender o que significam os parâmetros da normal fornecida (isso é importante para fazer a conta correta):
  • \mu é a média da distribuição. Aqui \mu = 7.000 (horas). A média é o “centro” da distribuição.
  • \sigma^{2} é a variância. Aqui \sigma^{2}=600^{2}. A raiz da variância é o desvio-padrão \sigma, que mede a dispersão em torno da média. Portanto \sigma = 600 (horas).
    Sempre que tivermos X\sim N(\mu,\sigma^{2}) e quisermos quantis, usamos esses dois números.

Passo 3

Transformação para a normal padrão e interpretação do percentil:
  • Se queremos o valor x_{0} tal que 10\% dos tempos estão acima dele, isso significa \,P(X>x_{0})=0,10.
  • Equivalente: \,P(X\le x_{0})=0,90. Ou seja, x_{0} é o percentil de ordem 0,90 (90.º percentil).
  • Para usar tabelas ou a normal padrão, fazemos a padronização:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).
Assim
P(X\le x_{0})=0,90 \quad\Longleftrightarrow\quad P\!\left(Z \le \frac{x_{0}-\mu}{\sigma}\right)=0,90.
Se chamarmos z_{0,90} o quantil 0,90 da normal padrão, temos
\frac{x_{0}-\mu}{\sigma}=z_{0,90} \quad\Longrightarrow\quad x_{0}=\mu + z_{0,90}\,\sigma.

Passo 4

Encontrando z_{0,90}:
  • Pela tabela da normal padrão ou pela função inversa da normal, o quantil de 0,90 é aproximadamente z_{0,90}=1,2816. (Pode-se confirmar em tabela com linha 1,2 e coluna 0,08 → cerca de 1,28; tabelas mais precisas dão 1,2816.)

Passo 5

Cálculo numérico do limite x_{0}:
x_{0}=\mu + z_{0,90}\,\sigma.
Substituindo os valores:
x_{0}=7.000 + 1,2816\times 600.
Calculemos o produto passo a passo:
1,2816\times 600 = 1,2816\times (6\times 100) = (1,2816\times 6)\times 100.
Primeiro 1,2816\times 6 = 7,6896. Então multiplicando por 100:
1,2816\times 600 = 768,96.
Agora somamos à média:
x_{0}=7.000 + 768,96 = 7.768,96\\ \text{horas}.

Passo 6

Interpretação e arredondamento:
  • Assim, aproximadamente \,7.768,96 horas é o valor acima do qual estão os 10\% maiores tempos de vida útil.
  • Em termos práticos, pode-se reportar arredondando para horas inteiras: \,7.769 horas.
  • Mensagem rápida de ânimo: chegou-se ao resultado usando apenas média, desvio-padrão e a tabela/inversa da normal padrão — procedimento direto para esse tipo de pergunta.

Resposta

\,7.768,96\\ \text{horas}

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