Questăo 2 (valor 30): Vigas de concreto foram submetidas a um ensaio de resistência à flexăo. Os resultados, já ordenados, de resistência (em MPa) de uma amostra de 27 vigas, sāo apresentados abaixo.
OBS: Não é necessário agrupar em intervalos de classe.
5,9 6,3 6,3 6,5 6,8 6,8 7,0 7,0 7,2 7,3 7,4 7,6 7,7 7,7
7,8 7,8 7,9 8,1 8,2 8,7 9,0 9,7 9,7 10,7 11,3 11,6 12,8
Verificar se existem valores outliers de resistência e caso existam, identificá-los.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existem valores outliers (valores atípicos) na amostra de 27 vigas e, se existirem, identificá‑los. Peguei os 27 valores de resistência (em MPa) do enunciado, já ordenados:
\begin{array}{l} 1:\;5,9,\;2:\;6,3,\;3:\;6,3,\;4:\;6,5,\;5:\;6,8,\;6:\;6,8,\;7:\;7,0,\\\\ 8:\;7,0,\;9:\;7,2,\;10:\;7,3,\;11:\;7,4,\;12:\;7,6,\;13:\;7,7,\\\\ 14:\;7,7,\;15:\;7,8,\;16:\;7,8,\;17:\;7,9,\;18:\;8,1,\;19:\;8,2,\\\\ 20:\;8,7,\;21:\;9,0,\;22:\;9,7,\;23:\;9,7,\;24:\;10,7,\;25:\;11,3,\\\\ 26:\;11,6,\;27:\;12,8. \end{array}

Passo 2

Escolhi o método clássico e robusto de detecção de outliers: a regra de Tukey usando o intervalo interquartílico (IQR). Vou calcular as quartis Q_1, Q_2 (mediana) e Q_3, depois o IQR e as “cercas” (fences). Primeiro, o tamanho da amostra é n=27. A posição da mediana é
\text{pos mediana}=\frac{n+1}{2}=\frac{27+1}{2}=14,
logo a mediana Q_2 é o 14^\circ valor da lista.

Passo 3

A mediana (valor central) é o 14^\circ elemento:
Q_2 = \text{valor na posição }14 = 7,7.çã

Passo 4

Com n ímpar usa‑se a divisão “median‑exclusive”: a metade inferior são os primeiros 13 valores (posições 1 a 13) e a metade superior são os últimos 13 (posições 15 a 27). O Q_1 é a mediana da metade inferior e o Q_3 é a mediana da metade superior. Para uma metade com 13 elementos, a mediana está na posição
\frac{13+1}{2}=7
dessa metade, ou seja, no elemento global na posição 7 para Q_1 e na posição 21 para Q_3. Assim:
Q_1 = \text{valor na posição }7 = 7,0, \qquad Q_3 = \text{valor na posição }21 = 9,0.çãçã
Breve nota didática: os quartis dividem a amostra em quatro partes aproximadamente iguais; usar a mediana excluída (como aqui) é a convenção de Tukey e é bastante usada em provas.

Passo 5

Calculo do intervalo interquartílico:
IQR = Q_3 - Q_1 = 9,0 - 7,0 = 2,0.

Passo 6

Definição das cercas de Tukey (regra de 1,5·IQR):
\text{cerca inferior} = Q_1 - 1,5\cdot IQR = 7,0 - 1,5\cdot 2,0 = 7,0 - 3,0 = 4,0,
\text{cerca superior} = Q_3 + 1,5\cdot IQR = 9,0 + 1,5\cdot 2,0 = 9,0 + 3,0 = 12,0.
Interpretação: qualquer observação menor que 4,0 ou maior que 12,0 é considerada outlier segundo essa regra.

Passo 7

Verificação dos dados contra as cercas:
  • Valores menores que 4,0: não há nenhum (o menor é 5,9).
  • Valores maiores que 12,0: só há um valor, 12,8 (posição 27), que satisfaz 12,8>12,0.
    Portanto, segundo a regra de Tukey, existe um outlier superior: 12,8 MPa.

Passo 8

Observações finais e dica prática:
  • A regra de Tukey é robusta (não depende da média e do desvio‑padrão) e é muito usada em provas e análise exploratória (boxplot).
  • Há outras regras (por exemplo, critério baseado em z‑score ou a cerca extrema Q_3+3\cdot IQR); se aplicarmos a cerca extrema Q_3+3\cdot IQR = 9,0+6,0=15,0, então nenhum valor seria extremo. Isso só mostra que 12,8 é um outlier “mild” segundo 1,5·IQR, não um extremo segundo 3·IQR.
  • Em relatório de laboratório é bom investigar a origem deste 12,8 (erro de ensaio, material diferente, etc.) antes de removê‑lo da análise.

Resposta

Existe um outlier (superior): 12,8 MPa

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