Calcular a ordem de cada elemento de \left(\mathbb{Z}_{5}^{*}, \cdot\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a ordem de cada elemento do grupo multiplicativo \left(\mathbb{Z}_{5}^{*},\cdot\right). Informações dadas e que vamos usar:
  • O conjunto \mathbb{Z}_{5}^{*} é o conjunto dos invertíveis módulo 5, isto é, os inteiros 1,2,3,4 considerados módulo 5.
  • A operação é a multiplicação módulo 5.
  • Precisamos encontrar, para cada a\in\{1,2,3,4\}, o menor inteiro positivo k tal que a^{k}\equiv1\pmod{5}. Esse k é a ordem de a.

Passo 2

Definição e ferramenta importante (explicadinha): a ordem de um elemento a em um grupo é o menor k\in\mathbb{N} tal que
a^{k}=e,
onde e é o elemento neutro do grupo. No nosso grupo multiplicativo módulo 5, o neutro é 1, então a ordem de a é o menor k\ge1 com
a^{k}\equiv1\pmod{5}.
Além disso, pelo Teorema de Lagrange, o ordem de qualquer elemento divide a ordem do grupo. A ordem do grupo \mathbb{Z}_{5}^{*} é \varphi(5)=4, logo as possíveis ordens são divisores de 4, isto é, 1,2 ou 4. Isso já reduz o que precisamos testar.

Passo 3

Começamos pelo elemento 1. Pelo papel do elemento neutro,
1^{1}\equiv1\pmod{5},
e não existe k<1 positivo, logo a ordem de 1 é 1. Anotado:
  • ordem de 1 é 1.

Passo 4

Agora o elemento 2. Vamos calcular potências de 2 módulo 5 passo a passo (cada cálculo explicado):
2^{1}\equiv2\pmod{5}.
Ainda não é 1. Próxima potência:
2^{2}=4\equiv4\pmod{5}.
Ainda não é 1. Próxima:
2^{3}=2^{2}\cdot2\equiv4\cdot2=8\equiv3\pmod{5}.
Ainda não é 1. Próxima:
2^{4}=2^{3}\cdot2\equiv3\cdot2=6\equiv1\pmod{5}.
Aqui achamos 2^{4}\equiv1. Como pelas observações anteriores 2^{1},2^{2},2^{3} não são 1, o menor k que funciona é k=4. Portanto a ordem de 2 é 4.

Passo 5

Elemento 3. Podemos calcular potências de 3 módulo 5 diretamente ou usar um atalho: note que 2\cdot3=6\equiv1\pmod{5}, então 3 é o inverso de 2. Propriedade útil: se b=a^{-1}, então b tem a mesma ordem que a (porque a^{k}=1\iff (a^{-1})^{k}=1). Como já vimos que 2 tem ordem 4, conclui-se que 3 também tem ordem 4.
Para confirmar com potências:
3^{1}\equiv3,\quad 3^{2}\equiv9\equiv4,\quad 3^{3}\equiv4\cdot3=12\equiv2,\quad 3^{4}\equiv2\cdot3=6\equiv1\pmod{5},
e nenhum expoente menor que 4 deu 1. Logo ordem de 3 é 4.

Passo 6

Elemento 4. Calculamos potências:
4^{1}\equiv4\pmod{5}.
Ainda não é 1. Próxima:
4^{2}\equiv4\cdot4=16\equiv1\pmod{5}.
Portanto 4^{2}\equiv1 e 4^{1}\not\equiv1, então a ordem de 4 é 2.

Passo 7

Resumo e checagem com Lagrange: as ordens encontradas são 1,4,4,2 para os elementos 1,2,3,4 respectivamente. Todas dividem 4, como esperado. Isso também confirma que o grupo é cíclico (há elementos de ordem 4, chamados geradores: 2 e 3).

Resposta

ordem de 1 é 1
ordem de 2 é 4
ordem de 3 é 4
ordem de 4 é 2

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