Calcular a ordem de cada elemento de
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a ordem de cada elemento do grupo multiplicativo
. Informações dadas e que vamos usar:
- O conjunto
é o conjunto dos invertíveis módulo , isto é, os inteiros considerados módulo . - A operação é a multiplicação módulo
. - Precisamos encontrar, para cada
, o menor inteiro positivo tal que . Esse é a ordem de .
Passo 2
Definição e ferramenta importante (explicadinha): a ordem de um elemento
em um grupo é o menor
tal que
onde
é o elemento neutro do grupo. No nosso grupo multiplicativo módulo
, o neutro é
, então a ordem de
é o menor
com
Além disso, pelo Teorema de Lagrange, o ordem de qualquer elemento divide a ordem do grupo. A ordem do grupo
é
, logo as possíveis ordens são divisores de
, isto é,
ou
. Isso já reduz o que precisamos testar.
Passo 3
Começamos pelo elemento
. Pelo papel do elemento neutro,
e não existe
positivo, logo a ordem de
é
. Anotado:
- ordem de
é .
Passo 4
Agora o elemento
. Vamos calcular potências de
módulo
passo a passo (cada cálculo explicado):
Ainda não é
. Próxima potência:
Ainda não é
. Próxima:
Ainda não é
. Próxima:
Aqui achamos
. Como pelas observações anteriores
não são
, o menor
que funciona é
. Portanto a ordem de
é
.
Passo 5
Elemento
. Podemos calcular potências de
módulo
diretamente ou usar um atalho: note que
, então
é o inverso de
. Propriedade útil: se
, então
tem a mesma ordem que
(porque
). Como já vimos que
tem ordem
, conclui-se que
também tem ordem
.
Para confirmar com potências:
e nenhum expoente menor que
deu
. Logo ordem de
é
.
Passo 6
Elemento
. Calculamos potências:
Ainda não é
. Próxima:
Portanto
e
, então a ordem de
é
.
Passo 7
Resumo e checagem com Lagrange: as ordens encontradas são
para os elementos
respectivamente. Todas dividem
, como esperado. Isso também confirma que o grupo é cíclico (há elementos de ordem
, chamados geradores:
e
).
Resposta
ordem de
é
ordem de é
ordem de é
ordem de é
ordem de
ordem de
ordem de