Mostre como, guiado pela terceira lei de Keppler, Newton pôde deduzir que a força mantendo a Lua em sua órbita, suposta circular, deve variar com o inverso do quadrado da distância ao centro da Terra.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para mostrar como, usando a terceira lei de Kepler, Newton conseguiu deduzir que a força que mantém a Lua na sua órbita circular ao redor da Terra varia com o inverso do quadrado da distância entre elas. Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Terceira Lei de Kepler: Relaciona o período orbital de um planeta com o raio da sua órbita.
- Leis do Movimento de Newton: Especialmente a Lei da Gravitação Universal.
Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Terceira Lei de Kepler. Ela diz que o quadrado do período orbital ($ T
R $). Em fórmula, fica assim:
Isso significa que se você aumentar o raio da órbita, o período aumenta de forma que $ T^2 $ cresce como $ R^3 $.
Passo 3
Agora, vamos pensar na força que mantém a Lua na sua órbita. Essa força é a força gravitacional entre a Terra e a Lua. Segundo a Lei da Gravitação Universal de Newton, essa força ($ F $) é dada por:
onde:
- $ G $ é a constante gravitacional,
- $ M $ é a massa da Terra,
- $ m $ é a massa da Lua,
- $ R $ é a distância entre os centros da Terra e da Lua.
Perceba que a força varia com $ \frac{1}{R^2} $.
Passo 4
Para conectar a Terceira Lei de Kepler com a Lei da Gravitação de Newton, precisamos relacionar o período orbital com a força centrípeta necessária para manter a Lua em sua órbita. A força centrípeta ($ F_c $) que mantém a Lua em órbita é:
onde $ v $ é a velocidade da Lua na sua órbita.
Passo 5
Sabemos que a velocidade ($ v
T
R $) da órbita pela fórmula:
Substituindo isso na expressão da força centrípeta:
Passo 6
Agora, igualamos a força centrípeta ($ F_c
F $) que calculamos antes:
Podemos cancelar a massa ($ m $) dos dois lados:
Passo 7
Rearranjando a equação para isolar $ T^2 $:
Essa equação mostra que:
O que confirma a Terceira Lei de Kepler.
Passo 8
Dessa forma, vimos que para manter a Lua em órbita circular, a força gravitacional precisa variar com $ \frac{1}{R^2} $. Isso está alinhado com a Lei da Gravitação Universal de Newton, que Newton deduziu usando a Terceira Lei de Kepler.
Resposta
Portanto, utilizando a Terceira Lei de Kepler e as leis de Newton, mostramos que a força que mantém a Lua em sua órbita circular varia com o inverso do quadrado da distância ao centro da Terra, ou seja: