Mostre como, guiado pela terceira lei de Keppler, Newton pôde deduzir que a força mantendo a Lua em sua órbita, suposta circular, deve variar com o inverso do quadrado da distância ao centro da Terra.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para mostrar como, usando a terceira lei de Kepler, Newton conseguiu deduzir que a força que mantém a Lua na sua órbita circular ao redor da Terra varia com o inverso do quadrado da distância entre elas. Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Terceira Lei de Kepler: Relaciona o período orbital de um planeta com o raio da sua órbita.
  • Leis do Movimento de Newton: Especialmente a Lei da Gravitação Universal.
    Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Terceira Lei de Kepler. Ela diz que o quadrado do período orbital ($ T T éó R $). Em fórmula, fica assim:
R
Isso significa que se você aumentar o raio da órbita, o período aumenta de forma que $ T^2 $ cresce como $ R^3 $.

Passo 3

Agora, vamos pensar na força que mantém a Lua na sua órbita. Essa força é a força gravitacional entre a Terra e a Lua. Segundo a Lei da Gravitação Universal de Newton, essa força ($ F $) é dada por:
F
onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ M $ é a massa da Terra,
  • $ m $ é a massa da Lua,
  • $ R $ é a distância entre os centros da Terra e da Lua.
Perceba que a força varia com $ \frac{1}{R^2} $.

Passo 4

Para conectar a Terceira Lei de Kepler com a Lei da Gravitação de Newton, precisamos relacionar o período orbital com a força centrípeta necessária para manter a Lua em sua órbita. A força centrípeta ($ F_c $) que mantém a Lua em órbita é:
Fc
onde $ v $ é a velocidade da Lua na sua órbita.

Passo 5

Sabemos que a velocidade ($ v v í T T R $) da órbita pela fórmula:
R
Substituindo isso na expressão da força centrípeta:
v = 2 pi RT

Passo 6

Agora, igualamos a força centrípeta ($ F_c Fc àç F $) que calculamos antes:
F
Podemos cancelar a massa ($ m $) dos dois lados:
m 4 pi^2 RT^2 = G M mR^2

Passo 7

Rearranjando a equação para isolar $ T^2 $:
T^2
Essa equação mostra que:
T^2 = 4 pi^2 R^3G M
O que confirma a Terceira Lei de Kepler.

Passo 8

Dessa forma, vimos que para manter a Lua em órbita circular, a força gravitacional precisa variar com $ \frac{1}{R^2} $. Isso está alinhado com a Lei da Gravitação Universal de Newton, que Newton deduziu usando a Terceira Lei de Kepler.

Resposta

Portanto, utilizando a Terceira Lei de Kepler e as leis de Newton, mostramos que a força que mantém a Lua em sua órbita circular varia com o inverso do quadrado da distância ao centro da Terra, ou seja:
F propto 1R^2

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