Mostre que
, onde
. Dica: defina uma função
e calcule a primeira derivada. Note que você cairá em uma equação diferencial muito simples de resolver em termos de
e então ao final aplique a condição
(que é satisfeita pela definição da função) e coloque
para obter o resultado em termos dos operadores somente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
sob a hipótese
Para isso, definimos a função
e vamos estudar sua derivada.
Passo 2
Calculamos
Fatorando
à direita no segundo termo e inserindo
, fica
Passo 3
Pelo lema de Baker–Campbell–Hausdorff truncado, como
, vale
Passo 4
Substituindo esse resultado obtemos a ODE
Passo 5
A solução dessa equação, com
, é
Passo 6
Para
fica
Como
, podemos então separar o exponencial e obter