Mostre que e^{\hat{A}} e^{\hat{B}}=e^{\hat{A}+\hat{B}} e^{\frac{1}{2}[\hat{A}, \hat{B}]}, onde [\hat{A},[\hat{A}, \hat{B}]]=[\hat{B},[\hat{A}, \hat{B}]]=0. Dica: defina uma função f(x)=e^{\hat{A} x} e^{\hat{B} x} e calcule a primeira derivada. Note que você cairá em uma equação diferencial muito simples de resolver em termos de x e então ao final aplique a condição f(0)=1 (que é satisfeita pela definição da função) e coloque x=1 para obter o resultado em termos dos operadores somente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
e^{\hat A}\,e^{\hat B} \;=\; e^{\hat A+\hat B}\,e^{\tfrac12[\hat A,\hat B]}\,,
sob a hipótese
[\hat A,[\hat A,\hat B]] = [\hat B,[\hat A,\hat B]] = 0.
Para isso, definimos a função
f(x) = e^{\,x\hat A}\,e^{\,x\hat B}
e vamos estudar sua derivada.

Passo 2

Calculamos
\frac{d}{dx}f(x) =\frac{d}{dx}\bigl(e^{x\hat A}\bigr)\,e^{x\hat B} +e^{x\hat A}\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{x\hat B}\bigr) =\hat A\,e^{x\hat A}e^{x\hat B}+e^{x\hat A}\,\hat B\,e^{x\hat B}.
Fatorando e^{x\hat A}e^{x\hat B}=f(x) à direita no segundo termo e inserindo e^{-x\hat A}e^{x\hat A}=1, fica
\frac{df}{dx} =\bigl(\hat A + e^{x\hat A}\,\hat B\,e^{-x\hat A}\bigr)\,f(x).

Passo 3

Pelo lema de Baker–Campbell–Hausdorff truncado, como [\hat A,[\hat A,\hat B]]=0, vale
e^{x\hat A}\,\hat B\,e^{-x\hat A} =\hat B + x\,[\hat A,\hat B].

Passo 4

Substituindo esse resultado obtemos a ODE
\frac{df}{dx} =\bigl(\hat A+\hat B + x\,[\hat A,\hat B]\bigr)\,f(x).

Passo 5

A solução dessa equação, com f(0)=1, é
f(x) =\exp\!\Bigl(\int_{0}^{x}\bigl(\hat A+\hat B+\xi\,[\hat A,\hat B]\bigr)\,d\xi\Bigr) =\exp\!\Bigl(x(\hat A+\hat B)+\tfrac{x^{2}}{2}\,[\hat A,\hat B]\Bigr).

Passo 6

Para x=1 fica
f(1)=e^{\hat A}e^{\hat B} =\exp\!\Bigl(\hat A+\hat B+\tfrac12[\hat A,\hat B]\Bigr).
Como [\hat A+\hat B,\,[\hat A,\hat B]]=0, podemos então separar o exponencial e obter
e^{\hat A}e^{\hat B} =e^{\hat A+\hat B}\;e^{\tfrac12[\hat A,\hat B]}\,.

Resposta

e^{\hat{A}}e^{\hat{B}}=e^{\hat{A}+\hat{B}}\,e^{\tfrac12[\hat{A},\hat{B}]}

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