Considere dois observáveis compatíveis
e
, porém os autovalores de
tem uma degenerescência dupla,
e
, onde os vetores
e
são linearmente independentes. Responda as seguintes questões:
(a) Justifique que nesse caso o operador
deve ser escrito como
e
, onde
e
são os elementos de matriz desse operador nessa base. Compare com o caso não-degenerado.
(b) Mostre que é possível diagonalizar o operador
tomando combinações lineares dos vetores da base, de modo que
, onde
e
são determinados em termos de
,
e
.
(a) Justifique que nesse caso o operador
(b) Mostre que é possível diagonalizar o operador
Passo 1
O enunciado trata de dois observáveis compatíveis
e
(
), em cuja base de autovetores de
existe uma degenerescência dupla para o autovalor
. Ou seja,
com
e
linearmente independentes.
(a) Queremos mostrar que, nessa subespaço degenerado, pode misturar esses dois vetores, de modo que
(a) Queremos mostrar que, nessa subespaço degenerado,
Em contraste, no caso não-degenerado, um autovetor isolado
satisfaz
.
(b) A partir dessa representação de
no subespaço degenerado, vamos diagonalizá-la, encontrando combinações lineares
que são autovetores de
com autovalor
.
(b) A partir dessa representação
Passo 2
Porque
,
preserva cada subespaço próprio de
. No subespaço degenerado associado a
, toda imagem
deve ficar dentro do span
. Logo, escrevemos
onde
são elementos de matriz de
nessa base.
No caso não-degenerado, digamos com multiplicidade 1, qualquer outro vetor próprio de
é ortogonal a
. Como
não pode “sair” desse subespaço unidimensional, obrigatoriamente
para algum escalar
.
No caso não-degenerado, digamos
Passo 3
Para diagonalizar
no subespaço degenerado, procuramos
e
tais que
Aplicando
e usando os itens do passo anterior, obtemos o sistema
Em forma matricial,
Para existirem soluções não-triviais, o determinante dessa matriz deve ser zero.]
Passo 4
O determinante condiciona o polinômio característico de
no subespaço:
Isso dá a equação quadrática em
:
Suas raízes são
Para cada
, a razão
vem de uma das duas linhas do sistema, por exemplo
Assim obtemos dois autovetores de
dentro do subespaço degenerado de
.
Resposta
No caso degenerado,
tem representação
Diagonalizando esse
, os autovalores são
e os respectivos autovetores são combinações
com
. No caso não-degenerado, não há espaço para mistura e
age como simples escala em cada autovetor de
.