Com relação aos operadores normais, responda as seguintes questões:
(a) Mostre que qualquer operador linear \hat{M} pode ser escrito como \hat{M}=\hat{H}_{1}+i \hat{H}_{2}, onde \hat{H}_{1} e \hat{H}_{2} são Hermitianos. (Dica: Dê uma expressão para \hat{H}_{1} e \hat{H}_{2} em termos de \hat{M} para mostrar) Obs: i \hat{H}_{2} é anti-Hermitiano.
(b) Pelo teorema espectral, todo operador Hermitiano pode ser diagonalizado, utilizando dessa argumento é possível concluir que \hat{M} é sempre diagonalizável?
(c) Um operador é dito normal se \left[\hat{H}_{1}, \hat{H}_{2}\right]=0. Mostre que um operador normal satisfaz \left[\hat{M}, \hat{M}^{\dagger}\right]=0, ou seja, \hat{M} \hat{M}^{\dagger}=\hat{M}^{\dagger} \hat{M}.
(d) Justifique por que um operador normal é sempre diagonalizável. Mostre também que os operadores unitários e Hermitianos pertencem ao conjunto dos operadores normais.
(e) Mostre que para um operador normal \hat{M} se \hat{M}\left|\Lambda_{i}\right\rangle=\lambda_{i}\left|\Lambda_{i}\right\rangle então \hat{M}^{\dagger}\left|\Lambda_{i}\right\rangle=\lambda_{i}^{*}\left|\Lambda_{i}\right\rangle, ou seja, \left\langle\Lambda_{i}\right| \hat{M}=\lambda_{i}\left\langle\Lambda_{i}\right|. (Dica: use o item c) e que os autovalores de uma matriz são os mesmos que de uma matriz transposta).
(f) Para um operador normal, mostre que os autovetores correspondentes a dois autovalores distintos são ortogonais.
(g) Uma operador pode ser diagonalizado por uma transformação unitária, se e somente se, ele for normal. Dica: Comece pela hipótese, se \hat{M} pode ser diagonalizado por uma transf. unitária, então \hat{U} \hat{M} \hat{U}^{\dagger}=\hat{D} onde o operador D é diagonal. D=D_{1}+\mathrm{i} D_{2}, onde D_{1} e D_{2} são diagonais com entradas reais, a partir disso, defina H_{1} e H_{2} de modo M=H_{1}+\mathrm{i} H_{2} e mostre que eles comutam.

Passo 1

O enunciado trata de operadores lineares em espaços de Hilbert, hermiticidade, operadores normais e a diagonalização unitária (teorema espectral). Vamos usar as definições:
– Um operador \hat{H} é Hermitiano se \hat{H}^\dagger=\hat{H}.
– Um operador \hat{A} é anti-Hermitiano se \hat{A}^\dagger=-\hat{A}.
– Um operador \hat{M} é normal se [\hat{M},\hat{M}^\dagger]=0.
Precisaremos também do teorema espectral, que afirma que todo operador Hermitiano é diagonalizável por transformação unitária.

Passo 2

Parte (a): decompor \hat{M} em partes Hermitiana e anti-Hermitiana. Definimos
\hat{H}_{1} = \frac{\hat{M} + \hat{M}^\dagger}{2}, \qquad \hat{H}_{2} = \frac{\hat{M} - \hat{M}^\dagger}{2i}.
Então
\hat{H}_{1}^\dagger = \frac{\hat{M}^\dagger + \hat{M}}{2} = \hat{H}_{1}, \quad \hat{H}_{2}^\dagger = \frac{\hat{M}^\dagger - \hat{M}}{-2i} = \hat{H}_{2},
mostrando que \hat{H}_{1},\hat{H}_{2} são Hermitianos. Além disso
i\,\hat{H}_{2} = \frac{\hat{M} - \hat{M}^\dagger}{2}
é anti-Hermitiano, e portanto
\hat{M} = \hat{H}_{1} + i\,\hat{H}_{2}.

Passo 3

Parte (b): pelo teorema espectral, \hat{H}_{1} e \hat{H}_{2} são cada um diagonalizável por alguma transformação unitária. Contudo, duas matrizes diagonalizáveis não se diagonalizam simultaneamente a menos que comutem. Logo, em geral \hat{M}=\hat{H}_{1}+i\hat{H}_{2} não é diagonalizável a menos que [\hat{H}_{1},\hat{H}_{2}]=0.

Passo 4

Parte (c): escrevemos
\hat{M}\,\hat{M}^\dagger = (\hat{H}_{1}+i\hat{H}_{2})(\hat{H}_{1}-i\hat{H}_{2}) = \hat{H}_{1}^{2} + \hat{H}_{2}^{2} + i[\hat{H}_{2},\hat{H}_{1}],
\hat{M}^\dagger\,\hat{M} = (\hat{H}_{1}-i\hat{H}_{2})(\hat{H}_{1}+i\hat{H}_{2}) = \hat{H}_{1}^{2} + \hat{H}_{2}^{2} + i[\hat{H}_{1},\hat{H}_{2}] = \hat{H}_{1}^{2} + \hat{H}_{2}^{2} - i[\hat{H}_{2},\hat{H}_{1}].
Subtraindo, obtém-se
[\hat{M},\hat{M}^\dagger] = 2\,i\,[\hat{H}_{2},\hat{H}_{1}],
de modo que [\hat{M},\hat{M}^\dagger]=0 se e somente se [\hat{H}_{1},\hat{H}_{2}]=0.

Passo 5

Parte (d): se [\hat{H}_{1},\hat{H}_{2}]=0, então \hat{H}_{1} e \hat{H}_{2} podem ser diagonalizadas simultaneamente por uma mesma transformação unitária \hat{U}. Nesse mesmo basis, \hat{M}=\hat{H}_{1}+i\hat{H}_{2} fica diagonal, logo \hat{M} é diagonalizável. Além disso:
– Qualquer operador Hermitiano \hat{H} satisfaz [\hat{H},\hat{H}^\dagger]=[\hat{H},\hat{H}]=0, logo é normal.
– Qualquer operador unitário \hat{U} satisfaz \hat{U}^\dagger=\hat{U}^{-1}, portanto \hat{U}\,\hat{U}^\dagger=\hat{U}^\dagger\,\hat{U}=I, logo [\hat{U},\hat{U}^\dagger]=0 e \hat{U} é normal.

Passo 6

Parte (e): seja \hat{M} normal e \hat{M}\ket{\Lambda_i}=\lambda_i\ket{\Lambda_i}. Como [\hat{M},\hat{M}^\dagger]=0, os dois operadores compartilham auto-vetores. Então
\hat{M}^\dagger\ket{\Lambda_i} \;=\;\mu_i\,\ket{\Lambda_i}.
Para achar \mu_i, usamos
\braket{\Lambda_i|\hat{M}\hat{M}^\dagger|\Lambda_i} =\braket{\Lambda_i|\hat{M}^\dagger\hat{M}|\Lambda_i},
ou seja \lambda_i\,\mu_i^*=\mu_i^*\,\lambda_i, o que implica \mu_i=\lambda_i^*. Consequentemente,
\hat{M}^\dagger\ket{\Lambda_i}=\lambda_i^*\ket{\Lambda_i}
e, tomando adjunta, \bra{\Lambda_i}\hat{M}=\lambda_i\bra{\Lambda_i}.

Passo 7

Parte (f): sejam \hat{M}\ket{a}=\lambda\ket{a} e \hat{M}\ket{b}=\mu\ket{b} com \lambda\neq\mu. Então
\braket{a|\hat{M}\hat{M}^\dagger|b} =\braket{a|\hat{M}^\dagger\hat{M}|b}
leva a
\lambda\,\braket{a|\hat{M}^\dagger|b} =\mu\,\braket{a|\hat{M}^\dagger|b}.
Mas de (e) \hat{M}^\dagger\ket{b}=\mu^*\ket{b}, logo
(\lambda-\mu)\mu^*\,\braket{a|b}=0.
Como \lambda\neq\mu e \mu^*\neq0, segue \braket{a|b}=0.

Passo 8

Parte (g): “ \hat{M} é diagonalizável por transformação unitária se e somente se é normal.”
(⇒) Suponha \exists\;\hat{U} unitário tal que
\hat{U}\hat{M}\hat{U}^\dagger=\hat{D}, com \hat{D} diagonal. Escrevemos
\hat{D}=\hat{D}_{1}+i\hat{D}_{2}, onde \hat{D}_{1},\hat{D}_{2} são diagonais com entradas reais. Definimos
\hat{H}_{1} = \hat{U}^\dagger\,\hat{D}_{1}\,\hat{U}, \quad \hat{H}_{2} = \hat{U}^\dagger\,\hat{D}_{2}\,\hat{U}.
Então \hat{H}_{1},\hat{H}_{2} são Hermitianos, \hat{M}=\hat{H}_{1}+i\hat{H}_{2} e, como \hat{D}_{1},\hat{D}_{2} comutam, segue [\hat{H}_{1},\hat{H}_{2}]=0. Logo \hat{M} é normal.
(⇐) Já mostramos em (d–f) que um operador normal admite base ortonormal de auto-vetores, i.e. é diagonalizável por transformação unitária.

Resposta

(a) \hat{H}_{1}=(\hat{M}+\hat{M}^\dagger)/2, \hat{H}_{2}=(\hat{M}-\hat{M}^\dagger)/(2i), de modo que \hat{M}=\hat{H}_{1}+i\hat{H}_{2}.
(b) Nem todo \hat{M} é diagonalizável: é preciso ainda [\hat{H}_{1},\hat{H}_{2}]=0.
(c) Um operador é normal se e somente se [\hat{M},\hat{M}^\dagger]=0.
(d) Operadores normais são sempre diagonalizáveis. Operadores Hermitianos e unitários são casos particulares de operadores normais.
(e) Se \hat{M}\ket{\Lambda_i}=\lambda_i\ket{\Lambda_i} e \hat{M} é normal, então \hat{M}^\dagger\ket{\Lambda_i}=\lambda_i^*\ket{\Lambda_i} e \bra{\Lambda_i}\hat{M}=\lambda_i\bra{\Lambda_i}.
(f) Autovetores de \hat{M} associados a autovalores distintos são ortogonais.
(g) \hat{M} é diagonalizável por transformação unitária \Leftrightarrow \hat{M} é normal.

Exercícios relacionados