Mostre que para a hélice \r \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, t)\r o módulo do vetor binormal \r \vec{B}(t)\r é constante.

Passo 1

O enunciado dá a hélice
\vec r(t) = (\cos t,\;\sin t,\;t)
e pede para mostrar que o módulo do vetor binormal \vec B(t) é constante.
Para isso, usamos a definição de vetor tangente unitário \vec T(t)=\frac{\vec r\,'(t)}{\|\vec r\,'(t)\|}, depois definimos o vetor normal unitário \vec N(t)=\frac{\vec T'(t)}{\|\vec T'(t)\|} e finalmente o binormal \vec B(t)=\vec T(t)\times\vec N(t). Em seguida calculamos \|\vec B(t)\|.

Passo 2

Calcular \vec r\,'(t) e o vetor tangente unitário \vec T(t).
\vec r\,'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;1), \quad \|\vec r\,'(t)\|=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1}=\sqrt{2}.
Logo
\vec T(t) =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;1\bigr).

Passo 3

Calcular a derivada \vec T'(t) e o vetor normal unitário \vec N(t).
\vec T'(t) =\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(-\cos t,\;-\,\sin t,\;0\bigr), \quad \|\vec T'(t)\|=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Então
\vec N(t) =\frac{\vec T'(t)}{\|\vec T'(t)\|} =(-\cos t,\;-\,\sin t,\;0).

Passo 4

Calcular o binormal \vec B(t)=\vec T(t)\times\vec N(t) e seu módulo.
Fazendo o produto vetorial, obtém-se
\vec B(t) =\Bigl(\tfrac{\sin t}{\sqrt{2}},\,-\tfrac{\cos t}{\sqrt{2}},\,\tfrac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).
Logo
\|\vec B(t)\| =\sqrt{\frac{\sin^2t+\cos^2t+1}{2}} =\sqrt{\frac{2}{2}} =1.
Portanto o módulo de \vec B(t) é constante.

Resposta

\|\vec B(t)\|=1, constante.

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