Para \r \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, t)\r, calcule a curvatura \r \kappa(t)\r. Passo 1O enunciado nos dá a curva \vec{r}(t) = (\cos t,\;\sin t,\;t) e pede a curvatura \kappa(t). O conteúdo é cálculo de curvatura de curva espacial, usando a fórmula \kappa(t) \;=\;\frac{\big\lVert \vec r\,'(t)\times \vec r\,''(t)\big\rVert}{\big\lVert \vec r\,'(t)\big\rVert^3}. Passo 2Calcular as derivadas primeira e segunda: \vec r\,'(t) = (-\sin t,\;\cos t,\;1), \qquad \vec r\,''(t) = (-\cos t,\;-\sin t,\;0). Passo 3Formar o produto vetorial \vec r\,'\times \vec r\,'': \vec r\,'(t)\times \vec r\,''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -\sin t & \cos t & 1\\\\ -\cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix} = (\sin t,\;-\,\cos t,\;1). Passo 4Calcular normas e aplicar a fórmula: \big\lVert \vec r\,'\times \vec r\,''\big\rVert = \sqrt{\sin^2t + (-\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \big\lVert \vec r\,'(t)\big\rVert = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}. Logo \kappa(t) = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^3} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac12. Resposta \kappa(t)=\tfrac12. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosMostre que para a hélice \r \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, t)\r o módulo do vetor binormal \r \vec{B}(t)\r é constante. Mostre que para a hélice \r \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, t)\r o módulo do vetor binormal \r \vec{B}(t)\r é constante. Para \r \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, t)\r, calcule a curvatura \r \kappa(t)\r. Determine os vetores do triedro de Frenet para \r \vec{r}(t)=(a \cos t, a \sin t, b t)\r, onde \r a, b>0\r.