Para \r \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, t)\r, calcule a curvatura \r \kappa(t)\r.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \vec{r}(t) = (\cos t,\;\sin t,\;t)
e pede a curvatura \kappa(t). O conteúdo é cálculo de curvatura de curva espacial, usando a fórmula
\kappa(t) \;=\;\frac{\big\lVert \vec r\,'(t)\times \vec r\,''(t)\big\rVert}{\big\lVert \vec r\,'(t)\big\rVert^3}.

Passo 2

Calcular as derivadas primeira e segunda:
\vec r\,'(t) = (-\sin t,\;\cos t,\;1), \qquad \vec r\,''(t) = (-\cos t,\;-\sin t,\;0).

Passo 3

Formar o produto vetorial \vec r\,'\times \vec r\,'':
\vec r\,'(t)\times \vec r\,''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -\sin t & \cos t & 1\\\\ -\cos t & -\sin t & 0 \end{vmatrix} = (\sin t,\;-\,\cos t,\;1).

Passo 4

Calcular normas e aplicar a fórmula:
\big\lVert \vec r\,'\times \vec r\,''\big\rVert = \sqrt{\sin^2t + (-\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2},
\big\lVert \vec r\,'(t)\big\rVert = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
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\kappa(t) = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^3} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac12.

Resposta

\kappa(t)=\tfrac12.

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