resolva o problema de valor inicial.
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x e^{x}, \quad y(1)=e-1

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x e^{x}.
  • Condição inicial: y(1)=e-1.
O que precisamos encontrar: uma função y(x) definida num intervalo contendo x=1 que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos colocar a equação numa forma padrão para trabalhar com ela. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x. Comparando com a equação dada obtemos
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x e^{x}\quad\Longrightarrow\quad p(x)=-\frac{1}{x},\qquad q(x)=x e^{x}.
Aqui p(x) é o coeficiente que multiplica y na forma padrão e q(x) é o termo do lado direito.

Passo 3

Explicação do método que vou usar (integradora / fator integrante) — ideia e fórmula:
  • Objetivo: multiplicar a equação por uma função \mu(x) chamada fator integrante de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y.
  • Fórmula para o fator integrante: \mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right). Aqui \exp significa e^{(\cdot)}.
  • Por que isso funciona (rápido motivo): se \mu satisfaz \mu'=\mu p, então
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y=\mu\frac{dy}{dx}+\mu p y,
que é exatamente \mu vezes o lado esquerdo da forma padrão \frac{dy}{dx}+p y. Assim multiplicando a equação original por \mu torna o lado esquerdo uma derivada exata, facilitando a integração.

Passo 4

Calcular o fator integrante para nosso p(x)=-\dfrac{1}{x}.
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(-\ln|x|\right)=\frac{1}{|x|}.
Como a condição inicial está em x=1 (positivo), podemos trabalhar no intervalo onde x>0 e tomar
\mu(x)=\frac{1}{x}.
Isso evita problemas de sinal do valor absoluto e é suficiente para obter a solução no entorno de x=1.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=\dfrac{1}{x}. Fazendo isso:
\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^2}y=\frac{1}{x}\cdot x e^{x}=e^{x}.
Pelo motivo explicado no Passo 3, o lado esquerdo é a derivada de \dfrac{y}{x}. Logo temos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=e^{x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x. A integral do lado direito é direta:
\int \frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)\,dx=\int e^{x}\,dx
implica
\frac{y}{x}=e^{x}+C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos y:
y = x\big(e^{x}+C\big)=x e^{x}+C x.

Passo 7

Usar a condição inicial y(1)=e-1 para determinar C. Substituindo x=1:
y(1)=1\cdot e^{1}+C\cdot 1 = e + C.
Igualando à condição inicial:
e + C = e - 1 \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Substituindo C na expressão geral,
y(x)=x e^{x} - x = x\big(e^{x}-1\big).

Passo 8

Verificação rápida (para dar confiança): calcular y'(x) e conferir a equação.
  • Primeiro y(x)=x e^{x}-x.
  • Derivando:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\big(x e^{x}\big)-\frac{d}{dx}(x)=\big(e^{x}+x e^{x}\big)-1.
  • Calcular \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{y}{x}:
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=\big(e^{x}+x e^{x}-1\big)-\frac{x e^{x}-x}{x}=\big(e^{x}+x e^{x}-1\big)-\big(e^{x}-1\big)=x e^{x},
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta e satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(x)=x\big(e^{x}-1\big)

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