resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
O que precisamos encontrar: uma função
definida num intervalo contendo
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos colocar a equação numa forma padrão para trabalhar com ela. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
onde
e
são funções conhecidas de
. Comparando com a equação dada obtemos
Aqui
é o coeficiente que multiplica
na forma padrão e
é o termo do lado direito.
Passo 3
Explicação do método que vou usar (integradora / fator integrante) — ideia e fórmula:
- Objetivo: multiplicar a equação por uma função
chamada fator integrante de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de . - Fórmula para o fator integrante:
. Aqui significa . - Por que isso funciona (rápido motivo): se
satisfaz , então
que é exatamente
vezes o lado esquerdo da forma padrão
. Assim multiplicando a equação original por
torna o lado esquerdo uma derivada exata, facilitando a integração.
Passo 4
Calcular o fator integrante para nosso
.
Como a condição inicial está em
(positivo), podemos trabalhar no intervalo onde
e tomar
Isso evita problemas de sinal do valor absoluto e é suficiente para obter a solução no entorno de
.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso:
Pelo motivo explicado no Passo 3, o lado esquerdo é a derivada de
. Logo temos
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
. A integral do lado direito é direta:
implica
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Passo 7
Usar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Igualando à condição inicial:
Substituindo
na expressão geral,
Passo 8
Verificação rápida (para dar confiança): calcular
e conferir a equação.
- Primeiro
. - Derivando:
- Calcular
:
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta e satisfaz a condição inicial.