Mostre que:
, onde
é o operador identidade;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador identidade é auto-adjunto, isto é, que seu adjunto coincide com ele mesmo. O conteúdo aqui é o conceito de operador adjunto em espaços com produto interno, e vamos precisar usar a definição que diz: para todo operador linear
existe um operador
tal que
para todos
Passo 2
Primeiro, recordando a definição de adjunto: dado um operador linear
, por definição
é o único operador que satisfaz
para todo
Passo 3
Agora vamos aplicar essa definição ao operador identidade
. Para quaisquer vetores
e
temos
Mas como
Logo
Passo 4
Da unicidade do adjunto, concluímos que o operador que satisfaz essa igualdade para todos
deve ser
mesmo. Portanto,