Mostre que:
I^*=I, onde I é o operador identidade;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador identidade é auto-adjunto, isto é, que seu adjunto coincide com ele mesmo. O conteúdo aqui é o conceito de operador adjunto em espaços com produto interno, e vamos precisar usar a definição que diz: para todo operador linear T existe um operador T^* tal que
lang<= T x, yrang<= = lang<= x, T^* yrang<=
para todos x,y no espaço.

Passo 2

Primeiro, recordando a definição de adjunto: dado um operador linear T, por definição T^* é o único operador que satisfaz
lang<= T x, yrang<= = lang<= x, T^* yrang<=
para todo x,y.

Passo 3

Agora vamos aplicar essa definição ao operador identidade I. Para quaisquer vetores x e y temos
lang<= I x, yrang<= = lang<= x, yrang<=
Mas como I y = y, também vale
lang<= x, I yrang<= = lang<= x, yrang<=
Logo
lang<= I x, yrang<= = lang<= x, I yrang<=

Passo 4

Da unicidade do adjunto, concluímos que o operador que satisfaz essa igualdade para todos x,y deve ser I mesmo. Portanto,
I^* = I

Resposta

I^* = I

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