Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M(2,2). Justifique as suas respostas.
lla & b c & d

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto B de todas as matrizes 2×2 com a entrada (2,1) igual a zero é um subespaço vetorial de M(2,2). O conteúdo aqui é a definição de subespaço vetorial, e vamos precisar checar três propriedades: (i) presença da matriz zero, (ii) fechamento sob soma e (iii) fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Um elemento genérico de B pode ser escrito como
A=a & b 0 & d, onde a entrada c=0. Para ser subespaço, B deve conter a matriz zero de M(2,2). Essa matriz é
O=0 & 0 0 & 0, que satisfaz c=0, logo Oin B.

Passo 3

Agora verificamos o fechamento sob adição. Sejam
A=a1 & b1 0 & d1, B=a2 & b2 0 & d2 ambas em B. Então
A+B=a1+a2 & b1+b2 0+0 & d1+d2= a1+a2 & b1+b2 0 & d1+d2 Como a entrada (2,1) continua zero, A+Bin B.

Passo 4

Por fim, checamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Para lambdain R e
A=a & b 0 & din B, temos
lambda A=lambda a & lambda b lambdacdot0 & lambda d= lambda a & lambda b 0 & lambda d A entrada (2,1) permanece zero, logo lambda Ain B.

Resposta

B é um subespaço vetorial de M(2,2).

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