Encontre, se possível, condições sobre os números a, b para que as matrizes abaixo sejam diagonalizáveis:
llla & 1 & 0 0 & a & 1 0 & 0 & b

Passo 1

O enunciado pede para encontrar condições nos parâmetros a e b de modo que a matriz triangular superior
A =
a & 1 & 0 0 & a & 1 0 & 0 & b
seja diagonalizável. Vamos usar conceitos de autovalores, multiplicidade algébrica e geométrica para decidir quando a diagonalização é possível.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores são exatamente as entradas na diagonal. Logo:
  • lambda1 = a, com multiplicidade algébrica 2.
  • lambda2 = b, com multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Para que A seja diagonalizável, cada autovalor deve ter multiplicidade geométrica igual à multiplicidade algébrica. Vamos calcular o espaço próprio de lambda1=a. Resolvemos:
(A - aI)x = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & b - a x1 x2 x3 = 0
Isso leva ao sistema
x2 = 0, x3 = 0, (b-a)x3 = 0
Logo x2=0 e x3=0, e x1 é livre. O espaço próprio de a tem dimensão 1, mas sua multiplicidade algébrica é 2. Portanto a multiplicidade geométrica é insuficiente.

Passo 4

Se tentarmos o caso especial b=a, a matriz fica com único autovalor a de multiplicidade algébrica 3, mas o cálculo acima mostra que o espaço próprio continua de dimensão 1. Em nenhum caso a multiplicidade geométrica alcança a algébrica. Portanto, não há valores de a e b que tornem A diagonalizável.

Resposta

Não existem valores de a e b tais que a matriz A seja diagonalizável.

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