Mostre que
\iiint_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi-\psi \nabla^{2} \varphi\right) d V=\oiint_{S}(\varphi \vec{\nabla} \psi-\psi \vec{\nabla} \varphi) \cdot d \vec{S}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede para mostrar a igualdade
\iiint_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi-\psi \nabla^{2} \varphi\right) d V=\oiint_{S}(\varphi \vec{\nabla} \psi-\psi \vec{\nabla} \varphi) \cdot d \vec{S}.
  • Informação implícita: \varphi e \psi são funções escalares suficientemente suaves (pelo menos duas vezes diferenciáveis) definidas em um volume V com superfície de contorno S. A superfície S é a fronteira de V e usa-se a normal externa para d\vec{S}.

Passo 2

Definir o campo vetorial que aparece no fluxo de superfície e escrever o teorema a usar:
  • Considere o campo vetorial
\vec{A}=\varphi\,\vec{\nabla}\psi-\psi\,\vec{\nabla}\varphi.
Aqui \vec{\nabla}\psi é o gradiente de \psi (vetor cujas componentes são as derivadas parciais de \psi), e \vec{\nabla}\varphi é o gradiente de \varphi. O elemento de superfície orientado é d\vec{S}=\hat{n}\,dS com \hat{n} a normal externa.
  • Vamos aplicar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz, para um campo vetorial suficientemente suave \vec{A},
\iiint_{V} \vec{\nabla}\cdot\vec{A}\,dV=\oiint_{S}\vec{A}\cdot d\vec{S}.
Então, se conseguirmos mostrar que \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\varphi \nabla^{2}\psi-\psi \nabla^{2}\varphi, a igualdade pedida segue imediatamente.

Passo 3

Calcular \vec{\nabla}\cdot\vec{A} usando a regra do produto para divergência:
  • A divergência do primeiro termo é, usando a regra do produto componente a componente,
\vec{\nabla}\cdot\big(\varphi\,\vec{\nabla}\psi\big)=\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\big(\varphi\,\frac{\partial\psi}{\partial x_{i}}\big).
Aplicando a regra do produto em cada soma:
\vec{\nabla}\cdot\big(\varphi\,\vec{\nabla}\psi\big)=\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_{i}}\frac{\partial\psi}{\partial x_{i}}+\varphi\,\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x_{i}^{2}}\right).
Em notação mais compacta isso é
\vec{\nabla}\cdot\big(\varphi\,\vec{\nabla}\psi\big)=\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi+\varphi\,\nabla^{2}\psi,
onde \nabla^{2}\psi=\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}\psi=\sum_{i}\tfrac{\partial^{2}\psi}{\partial x_{i}^{2}} é o Laplaciano de \psi.
  • Análogo para o segundo termo:
\vec{\nabla}\cdot\big(\psi\,\vec{\nabla}\varphi\big)=\vec{\nabla}\psi\cdot\vec{\nabla}\varphi+\psi\,\nabla^{2}\varphi.

Passo 4

Subtrair as duas divergências para obter \vec{\nabla}\cdot\vec{A}:
  • Como \vec{A}=\varphi\,\vec{\nabla}\psi-\psi\,\vec{\nabla}\varphi, usa-se linearidade da divergência:
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\vec{\nabla}\cdot\big(\varphi\,\vec{\nabla}\psi\big)-\vec{\nabla}\cdot\big(\psi\,\vec{\nabla}\varphi\big).
Substituindo as fórmulas do passo anterior:
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\big(\vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi+\varphi\,\nabla^{2}\psi\big)-\big(\vec{\nabla}\psi\cdot\vec{\nabla}\varphi+\psi\,\nabla^{2}\varphi\big).
Os termos \vec{\nabla}\varphi\cdot\vec{\nabla}\psi e \vec{\nabla}\psi\cdot\vec{\nabla}\varphi são iguais, portanto se cancelam, deixando
\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\varphi\,\nabla^{2}\psi-\psi\,\nabla^{2}\varphi.
Esse é exatamente o integrando do volume na identidade que queremos provar.

Passo 5

Aplicar o Teorema da Divergência e concluir:
  • Pelo Teorema da Divergência, integrando a igualdade do passo anterior sobre V:
\iiint_{V}\big(\vec{\nabla}\cdot\vec{A}\big)\,dV=\oiint_{S}\vec{A}\cdot d\vec{S}.
Substituindo \vec{A}=\varphi\,\vec{\nabla}\psi-\psi\,\vec{\nabla}\varphi e \vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\varphi\,\nabla^{2}\psi-\psi\,\nabla^{2}\varphi obtemos
\iiint_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi-\psi \nabla^{2} \varphi\right) d V=\oiint_{S}(\varphi \vec{\nabla} \psi-\psi \vec{\nabla} \varphi) \cdot d \vec{S},
que é exatamente a identidade requerida. Observação: exige-se que \varphi e \psi sejam suaves em V e que S seja uma superfície de contorno regular para poder aplicar o teorema.

Resposta

\displaystyle \iiint_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi-\psi \nabla^{2} \varphi\right) d V=\oiint_{S}(\varphi \vec{\nabla} \psi-\psi \vec{\nabla} \varphi) \cdot d \vec{S}

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