Mostre que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede para mostrar a igualdade
- Informação implícita:
e são funções escalares suficientemente suaves (pelo menos duas vezes diferenciáveis) definidas em um volume com superfície de contorno . A superfície é a fronteira de e usa-se a normal externa para .
Passo 2
Definir o campo vetorial que aparece no fluxo de superfície e escrever o teorema a usar:
- Considere o campo vetorial
Aqui
é o gradiente de
(vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
), e
é o gradiente de
. O elemento de superfície orientado é
com
a normal externa.
- Vamos aplicar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz, para um campo vetorial suficientemente suave
,
Então, se conseguirmos mostrar que
, a igualdade pedida segue imediatamente.
Passo 3
Calcular
usando a regra do produto para divergência:
- A divergência do primeiro termo é, usando a regra do produto componente a componente,
Aplicando a regra do produto em cada soma:
Em notação mais compacta isso é
onde
é o Laplaciano de
.
- Análogo para o segundo termo:
Passo 4
Subtrair as duas divergências para obter
:
- Como
, usa-se linearidade da divergência:
Substituindo as fórmulas do passo anterior:
Os termos
e
são iguais, portanto se cancelam, deixando
Esse é exatamente o integrando do volume na identidade que queremos provar.
Passo 5
Aplicar o Teorema da Divergência e concluir:
- Pelo Teorema da Divergência, integrando a igualdade do passo anterior sobre
:
Substituindo
e
obtemos
que é exatamente a identidade requerida. Observação: exige-se que
e
sejam suaves em
e que
seja uma superfície de contorno regular para poder aplicar o teorema.