Considere a integral dupla I=\int_{D} \int x e^{4 y} d y d x,
em que D é a região situada no primeiro quadrante que é delimitada pelas parábolas
y=\frac{x^{2}}{4} \quad \text { e } \quad y=\frac{17}{2}-\frac{x^{2}}{4}
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, \boldsymbol{I} pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:
i) x \in[0, \square]

ii) y \in[\square, \square].


b) Tomando y como variável independente, I deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
Para a primeira integral i) y \in[0, \square]

ii) x \in[0, □ ]
Para a segunda integral: iii) y \in[ □ , □ ].
iv) x \in[0, □ ]
c) O valor numérico de I é dado por I=
□ .

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Foi dada a integral dupla
I=\iint_{D} x e^{4y}\,dy\,dx,
onde D é a região do primeiro quadrante delimitada pelas parábolas
y=\frac{x^{2}}{4} \qquad\text{e}\qquad y=\frac{17}{2}-\frac{x^{2}}{4}.
O enunciado pede três coisas:
a) Escrever I como uma única integral iterada tomando x como variável independente, preenchendo os limites:
i) x\in[0,\square]
ii) y\in[\square,\square].
b) Escrever I trocando a ordem (tomando y como variável independente) como soma de duas integrais, preenchendo os limites:
  • Primeira integral: i) y\in[0,\square], ii) x\in[0,\square].
  • Segunda integral: iii) y\in[\square,\square], iv) x\in[0,\square].
c) Calcular o valor numérico (exato) de I.

Passo 2

Primeiro encontro os pontos de interseção das duas parábolas para obter o intervalo em x.
Igualo as duas expressões de y:
\frac{x^{2}}{4}=\frac{17}{2}-\frac{x^{2}}{4}.
Somando \dfrac{x^{2}}{4} aos dois lados:
\frac{x^{2}}{2}=\frac{17}{2}.
Multiplicando por 2:
x^{2}=17.
Logo x=\pm\sqrt{17}. Como estamos no primeiro quadrante ( x\ge0 ), o intervalo de x relevante é
x\in[0,\sqrt{17}].
O valor de y no ponto de interseção é, por exemplo, y=\dfrac{x^{2}}{4}=\dfrac{17}{4}.

Passo 3

Agora escrevo I tomando x como variável independente. Para cada x fixo, y varia entre a parábola inferior y=\dfrac{x^{2}}{4} e a parábola superior y=\dfrac{17}{2}-\dfrac{x^{2}}{4}. Assim a integral iterada fica
I=\int_{x=0}^{\sqrt{17}}\left(\int_{y=\frac{x^{2}}{4}}^{\frac{17}{2}-\frac{x^{2}}{4}} x e^{4y}\,dy\right)dx.
Portanto, para o item (a) os limites são:
i) x\in[0,\sqrt{17}],
ii) y\in\left[\dfrac{x^{2}}{4},\dfrac{17}{2}-\dfrac{x^{2}}{4}\right].

Passo 4

Para trocar a ordem de integração (tomar y como variável independente) preciso, para cada y, achar o intervalo de x que pertence à região D.
Das equações das parábolas isolo x (em primeiro quadrante, x\ge0):
y=\frac{x^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad x=2\sqrt{y},
y=\frac{17}{2}-\frac{x^{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad x=2\sqrt{\frac{17}{2}-y}.
Para um dado y, os pontos da região devem satisfazer simultaneamente
x^{2}\le 4y \quad\text{e}\quad x^{2}\le 34-4y,
ou seja x\le \min\big(2\sqrt{y},\,2\sqrt{\tfrac{17}{2}-y}\big). Os dois limites em x se igualam quando
2\sqrt{y}=2\sqrt{\tfrac{17}{2}-y}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{17}{4}.
O intervalo total de y atingido pela região D vai desde o mínimo y=0 (na origem) até o máximo y=\dfrac{17}{2} (no ponto x=0 da parábola superior). Portanto é necessário dividir em dois trechos:
  • Para 0\le y\le\dfrac{17}{4}, tem-se 2\sqrt{y}\le 2\sqrt{\tfrac{17}{2}-y}, então x\in[0,2\sqrt{y}].
  • Para \dfrac{17}{4}\le y\le\dfrac{17}{2}, tem-se 2\sqrt{\tfrac{17}{2}-y}\le 2\sqrt{y}, então x\in[0,2\sqrt{\tfrac{17}{2}-y}].
Logo I como soma de duas integrais (com y independente) é
I=\int_{y=0}^{\frac{17}{4}}\left(\int_{x=0}^{2\sqrt{y}} x e^{4y}\,dx\right)dy +\int_{y=\frac{17}{4}}^{\frac{17}{2}}\left(\int_{x=0}^{2\sqrt{\frac{17}{2}-y}} x e^{4y}\,dx\right)dy.

Passo 5

Agora calculo I. Vou usar a forma com dx externo (a do Passo 3), porque a integração em y é direta: a integranda separa multiplicativamente x e e^{4y}.
Calculo a integral interna em y:
\int_{y=\frac{x^{2}}{4}}^{\frac{17}{2}-\frac{x^{2}}{4}} x e^{4y}\,dy = x\left[\frac{1}{4}e^{4y}\right]_{y=\frac{x^{2}}{4}}^{y=\frac{17}{2}-\frac{x^{2}}{4}} = \frac{x}{4}\Big(e^{4\left(\frac{17}{2}-\frac{x^{2}}{4}\right)}-e^{4\left(\frac{x^{2}}{4}\right)}\Big).
Simplifico os expoentes: 4\cdot\frac{17}{2}=34 e 4\cdot\frac{x^{2}}{4}=x^{2}. Assim
\int_{y=\frac{x^{2}}{4}}^{\frac{17}{2}-\frac{x^{2}}{4}} x e^{4y}\,dy = \frac{x}{4}\big(e^{34-x^{2}}-e^{x^{2}}\big).
Portanto
I=\int_{0}^{\sqrt{17}} \frac{x}{4}\big(e^{34-x^{2}}-e^{x^{2}}\big)\,dx.

Passo 6

Faço a integral em x separando em duas integrais e usando a substituição t=x^{2} (logo dt=2x\,dx, ou x\,dx=\dfrac{dt}{2}).
Primeira parte:
\int_{0}^{\sqrt{17}} \frac{x}{4} e^{34-x^{2}}\,dx = \frac{1}{4} e^{34}\int_{0}^{\sqrt{17}} x e^{-x^{2}}\,dx.
Com t=x^{2} obtemos
\int_{0}^{\sqrt{17}} x e^{-x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{t=0}^{17} e^{-t}\,dt=\frac{1}{2}\big(1-e^{-17}\big).
Então
\int_{0}^{\sqrt{17}} \frac{x}{4} e^{34-x^{2}}\,dx = \frac{1}{4} e^{34}\cdot\frac{1}{2}\big(1-e^{-17}\big) = \frac{1}{8}\big(e^{34}-e^{17}\big).
Segunda parte:
\int_{0}^{\sqrt{17}} \frac{x}{4} e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\int_{0}^{\sqrt{17}} x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\big(e^{x^{2}}\big)\Big|_{0}^{\sqrt{17}} = \frac{1}{8}\big(e^{17}-1\big).
Subtraindo a segunda parte da primeira (pois o integrando original tinha -e^{x^{2}}):
I=\frac{1}{8}\big(e^{34}-e^{17}\big)-\frac{1}{8}\big(e^{17}-1\big) = \frac{1}{8}\big(e^{34}-2e^{17}+1\big).
Reconheço que e^{34}-2e^{17}+1=(e^{17}-1)^{2}. Assim
I=\frac{1}{8}\big(e^{17}-1\big)^{2}.

Passo 7

Resumo final dos resultados (preenchendo as lacunas pedidas):
  • Os limites quando x é variável independente: x\in[0,\sqrt{17}] e y\in\left[\dfrac{x^{2}}{4},\dfrac{17}{2}-\dfrac{x^{2}}{4}\right].
  • Ao tomar y como variável independente é preciso somar duas integrais:
    • Primeira: y\in\left[0,\dfrac{17}{4}\right], x\in\left[0,2\sqrt{y}\right].
    • Segunda: y\in\left[\dfrac{17}{4},\dfrac{17}{2}\right], x\in\left[0,2\sqrt{\dfrac{17}{2}-y}\right].
  • Valor exato da integral:
I=\frac{1}{8}\big(e^{17}-1\big)^{2}.

Resposta

a) i) x\in[0,\sqrt{17}]
a) ii) y\in\left[\dfrac{x^{2}}{4},\dfrac{17}{2}-\dfrac{x^{2}}{4}\right]
b) Primeira integral: i) y\in\left[0,\dfrac{17}{4}\right], ii) x\in\left[0,2\sqrt{y}\right]
b) Segunda integral: iii) y\in\left[\dfrac{17}{4},\dfrac{17}{2}\right], iv) x\in\left[0,2\sqrt{\dfrac{17}{2}-y}\right]
c) I=\dfrac{1}{8}\big(e^{17}-1\big)^{2}

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