Considere a expressão integral I=\int_{\sqrt{10}}^{\frac{5 \sqrt{7}}{2}} \int_{-\sqrt{-6+\frac{3 x^{2}}{5}}}^{\sqrt{-6+\frac{3 x^{2}}{5}}} f(x, y) d y d x+\int_{\frac{5 \sqrt{7}}{2}}^{10} \int_{-\sqrt{36-\frac{9 x^{2}}{25}}}^{\sqrt{36-\frac{9 x^{2}}{25}}} f(x, y) d y d x
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando y como variável independente, a expressão I pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
b) Transformando a expressão I para coordenadas polares, I também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) y \in[ □ , □ ].
i) \theta \in[ □ , □ ].
ii) x \in[ □ , □ ].
ii) r \in[ □ ,
□ ].
Orientações:
Insira suas respostas em formato numérico ou em formato funcional.
Atenção: Pode ser útil consultar a Tabela disponível na “Descrição de Comandos” para conferir os comandos que devem ser digitados para gerar as respostas em formato funcional.
Imbortante: Confira (nos respectivos campos que irão surgir) a forma com que o Moodle interpretará sua resposta. Caso haja algum problema, analise a mensagem automática que será fornecido para corrigir eventuais equívocos na digitação de sua resposta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, usando exatamente os números do enunciado.
O enunciado pede:
a) Reescrever I como uma única integral dupla tomando y como variável exterior (ou seja, encontrar os limites em y e as funções limites em x dependentes de y).
b) Escrever I em coordenadas polares (com uso de simetria). Pedem os limitantes de integração em coordenadas polares, especificamente os intervalos para y, para \theta, para x e para r (cada um em seu campo).
Informações relevantes dadas nos dois blocos:
Para \sqrt{10}\le x\le \dfrac{5\sqrt{7}}{2} temos o limite em y: -\sqrt{-6+\dfrac{3x^{2}}{5}}\le y\le \sqrt{-6+\dfrac{3x^{2}}{5}}.
Para \dfrac{5\sqrt{7}}{2}\le x\le 10 temos o limite em y: -\sqrt{36-\dfrac{9x^{2}}{25}}\le y\le \sqrt{36-\dfrac{9x^{2}}{25}}.
O domínio R é a união das duas fatias acima (todas com x\ge0). A região é simétrica em relação ao eixo x (porque os limites de y são simétricos) e os dois ramos se juntam em x=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}.
Passo 2
Entender geometricamente as curvas de contorno que definem o domínio R.
A primeira curva (fronteira entre y e x no primeiro integral) vem de
que é uma elipse (novamente consideramos o ramo com x\ge0).
Verificações úteis (pegar valores extremos dados no enunciado):
Em x=\sqrt{10} a primeira fórmula dá y=0.
Em x=10 a segunda fórmula dá y=0.
Em x=\dfrac{5\sqrt{7}}{2} ambas as fórmulas dão o mesmo valor de y: calcularx^{2}=\frac{175}{4},\qquad -6+\frac{3x^{2}}{5}=-6+\frac{3\cdot175}{20}=-6+\frac{105}{4}=\frac{81}{4},então y=\pm\frac{9}{2}. Assim o máximo em y no domínio é \pm \dfrac{9}{2}.
Passo 3
Inverter a ordem de integração: encontrar, para cada valor fixo de y, qual é o intervalo em x.
Ponto crucial: um ponto (x,y) pertence à região se satisfizer uma das duas condições (dependendo de x). Para resolver em função de y isolamos x das desigualdades.
Observação de consistência: para y=0 obtemos x=\sqrt{10} (esquerda) e x=10 (direita). Para y=\pm\dfrac{9}{2} ambas as expressões coincidem em x=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}. Portanto, para todo y entre -\dfrac{9}{2} e \dfrac{9}{2} a abscissa x varia entre essas duas funções.
Passo 4
Escrever a integral original como uma só integral com y externo e x interno.
Com as conclusões do passo anterior, o domínio inteiro R é descrito por
Determinar o intervalo em \theta (ângulos) para os quais há interseção entre as duas curvas — isto é, o conjunto de \theta para o qual a faixa radial entre as duas curvas é não vazia.
A condição para que o segmento radial seja não-vazio é que o valor de r da hipérbole seja menor ou igual ao da elipse:
Comentário sobre simetria e versões reduzidas: o enunciado menciona “usando simetria em duas vezes”. Uma estratégia prática na prova é:
Usar simetria em y para integrar só com y\ge0 e multiplicar por 2 (porque a região é simétrica em relação ao eixo x).
Em coordenadas polares, usar simetria em cima/baixo para integrar em \theta\ge0 e multiplicar por 2 (ou integrar de 0 a \arctan(\dots) e multiplicar por 2). Aqui eu apresentei os limites simétricos completos (de -\theta_0 a \theta_0); você pode optar por integrar apenas de 0 a \theta_0 e multiplicar por 2 quando conveniente na prova.
Passo 9
Resumo final das expressões pedidas (vou apresentar as respostas finais de forma compacta, prontas para inserir no Moodle).