Considere a expressão integral
I=\int_{\sqrt{10}}^{\frac{5 \sqrt{7}}{2}} \int_{-\sqrt{-6+\frac{3 x^{2}}{5}}}^{\sqrt{-6+\frac{3 x^{2}}{5}}} f(x, y) d y d x+\int_{\frac{5 \sqrt{7}}{2}}^{10} \int_{-\sqrt{36-\frac{9 x^{2}}{25}}}^{\sqrt{36-\frac{9 x^{2}}{25}}} f(x, y) d y d x
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando y como variável independente, a expressão I pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
b) Transformando a expressão I para coordenadas polares, I também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) y \in[ □ , □ ].
i) \theta \in[ □ , □ ].
ii) x \in[ □ , □ ].
ii) r \in[ □ ,
□ ].

Orientações:

Insira suas respostas em formato numérico ou em formato funcional.
Atenção: Pode ser útil consultar a Tabela disponível na “Descrição de Comandos” para conferir os comandos que devem ser digitados para gerar as respostas em formato funcional.
Imbortante: Confira (nos respectivos campos que irão surgir) a forma com que o Moodle interpretará sua resposta. Caso haja algum problema, analise a mensagem automática que será fornecido para corrigir eventuais equívocos na digitação de sua resposta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, usando exatamente os números do enunciado.
  • A expressão dada é
I=\int_{\sqrt{10}}^{\frac{5\sqrt{7}}{2}}\int_{-\sqrt{-6+\frac{3x^{2}}{5}}}^{\sqrt{-6+\frac{3x^{2}}{5}}}f(x,y)\,dy\,dx +\int_{\frac{5\sqrt{7}}{2}}^{10}\int_{-\sqrt{36-\frac{9x^{2}}{25}}}^{\sqrt{36-\frac{9x^{2}}{25}}}f(x,y)\,dy\,dx.
  • O enunciado pede:
    a) Reescrever I como uma única integral dupla tomando y como variável exterior (ou seja, encontrar os limites em y e as funções limites em x dependentes de y).
    b) Escrever I em coordenadas polares (com uso de simetria). Pedem os limitantes de integração em coordenadas polares, especificamente os intervalos para y, para \theta, para x e para r (cada um em seu campo).
Informações relevantes dadas nos dois blocos:
  • Para \sqrt{10}\le x\le \dfrac{5\sqrt{7}}{2} temos o limite em y: -\sqrt{-6+\dfrac{3x^{2}}{5}}\le y\le \sqrt{-6+\dfrac{3x^{2}}{5}}.
  • Para \dfrac{5\sqrt{7}}{2}\le x\le 10 temos o limite em y: -\sqrt{36-\dfrac{9x^{2}}{25}}\le y\le \sqrt{36-\dfrac{9x^{2}}{25}}.
O domínio R é a união das duas fatias acima (todas com x\ge0). A região é simétrica em relação ao eixo x (porque os limites de y são simétricos) e os dois ramos se juntam em x=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}.

Passo 2

Entender geometricamente as curvas de contorno que definem o domínio R.
  • A primeira curva (fronteira entre y e x no primeiro integral) vem de
y^{2}=-6+\frac{3x^{2}}{5}\quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-5y^{2}=30,
que é uma hipérbole de ramo com x grande (consideramos aqui só o ramo com x\ge0).
  • A segunda curva (fronteira do segundo integral) vem de
y^{2}=36-\frac{9x^{2}}{25}\quad\Longrightarrow\quad \frac{9x^{2}}{25}+y^{2}=36,
que é uma elipse (novamente consideramos o ramo com x\ge0).
Verificações úteis (pegar valores extremos dados no enunciado):
  • Em x=\sqrt{10} a primeira fórmula dá y=0.
  • Em x=10 a segunda fórmula dá y=0.
  • Em x=\dfrac{5\sqrt{7}}{2} ambas as fórmulas dão o mesmo valor de y: calcular x^{2}=\frac{175}{4},\qquad -6+\frac{3x^{2}}{5}=-6+\frac{3\cdot175}{20}=-6+\frac{105}{4}=\frac{81}{4},então y=\pm\frac{9}{2}. Assim o máximo em y no domínio é \pm \dfrac{9}{2}.

Passo 3

Inverter a ordem de integração: encontrar, para cada valor fixo de y, qual é o intervalo em x.
Ponto crucial: um ponto (x,y) pertence à região se satisfizer uma das duas condições (dependendo de x). Para resolver em função de y isolamos x das desigualdades.
  • Da primeira curva:
y^{2}\le -6+\frac{3x^{2}}{5}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\ge \frac{5}{3}(y^{2}+6)
(lembrando que, no domínio da primeira curva, x\ge0), portanto a fronteira esquerda dada por essa curva pode ser escrita como
x=\sqrt{\frac{5}{3}\,(y^{2}+6)}.
  • Da segunda curva:
y^{2}\le 36-\frac{9x^{2}}{25}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le \frac{25}{9}(36-y^{2})
(novamente x\ge0), logo a fronteira direita é
x=\frac{5}{3}\sqrt{36-y^{2}}.
Observação de consistência: para y=0 obtemos x=\sqrt{10} (esquerda) e x=10 (direita). Para y=\pm\dfrac{9}{2} ambas as expressões coincidem em x=\dfrac{5\sqrt{7}}{2}. Portanto, para todo y entre -\dfrac{9}{2} e \dfrac{9}{2} a abscissa x varia entre essas duas funções.

Passo 4

Escrever a integral original como uma só integral com y externo e x interno.
Com as conclusões do passo anterior, o domínio inteiro R é descrito por
-\frac{9}{2}\le y\le \frac{9}{2},\qquad \sqrt{\frac{5}{3}(y^{2}+6)}\le x\le \frac{5}{3}\sqrt{36-y^{2}}.
Logo a integral única é
I=\int_{y=-\frac{9}{2}}^{\frac{9}{2}}\int_{x=\sqrt{\frac{5}{3}(y^{2}+6)}}^{\frac{5}{3}\sqrt{36-y^{2}}} f(x,y)\,dx\,dy.
Isso resolve a parte (a): limites em y e os limites funcionais em x.

Passo 5

Agora vamos passar para coordenadas polares. Relembrando: em coordenadas polares usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA = r\,dr\,d\theta.
Precisamos expressar as duas curvas que limitam R em função de r e \theta.
  • Hipérbole 3x^{2}-5y^{2}=30 em polares:
3r^{2}\cos^{2}\theta-5r^{2}\sin^{2}\theta=30 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\bigl(3\cos^{2}\theta-5\sin^{2}\theta\bigr)=30,
portanto (quando o fator angular for positivo)
r=\sqrt{\dfrac{30}{\,3\cos^{2}\theta-5\sin^{2}\theta\,}}.
  • Elipse \dfrac{9x^{2}}{25}+y^{2}=36 em polares:
\frac{9r^{2}\cos^{2}\theta}{25}+r^{2}\sin^{2}\theta=36 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\Bigl(\frac{9\cos^{2}\theta}{25}+\sin^{2}\theta\Bigr)=36,
portanto
r=\sqrt{\dfrac{36}{\,\dfrac{9\cos^{2}\theta}{25}+\sin^{2}\theta\,}} =\sqrt{\dfrac{900}{\,9\cos^{2}\theta+25\sin^{2}\theta\,}}.

Passo 6

Determinar o intervalo em \theta (ângulos) para os quais há interseção entre as duas curvas — isto é, o conjunto de \theta para o qual a faixa radial entre as duas curvas é não vazia.
A condição para que o segmento radial seja não-vazio é que o valor de r da hipérbole seja menor ou igual ao da elipse:
\frac{30}{3\cos^{2}\theta-5\sin^{2}\theta}\le \frac{900}{9\cos^{2}\theta+25\sin^{2}\theta}.
Multiplicando e simplificando obtemos (assumindo denominadores positivos)
81\cos^{2}\theta-175\sin^{2}\theta \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \tan^{2}\theta \le \frac{81}{175}.
Logo
|\tan\theta|\le \frac{9}{5\sqrt{7}}.
Portanto o intervalo em \theta é
-\arctan\!\left(\frac{9}{5\sqrt{7}}\right)\le \theta \le \arctan\!\left(\frac{9}{5\sqrt{7}}\right).
Observação: como toda a região tem x\ge0, de fato \cos\theta\ge0 e o intervalo de \theta está contido em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).

Passo 7

Determinar o intervalo em r para um \theta fixo dentro do intervalo acima.
Pelo que foi obtido:
  • a fronteira interna (menor r) corresponde à hipérbole:
r_{\min}(\theta)=\sqrt{\dfrac{30}{\,3\cos^{2}\theta-5\sin^{2}\theta\,}},
  • a fronteira externa (maior r) corresponde à elipse:
r_{\max}(\theta)=\sqrt{\dfrac{900}{\,9\cos^{2}\theta+25\sin^{2}\theta\,}}.
Assim, em coordenadas polares o domínio é
\theta\in\left[-\arctan\!\left(\frac{9}{5\sqrt{7}}\right),\;\arctan\!\left(\frac{9}{5\sqrt{7}}\right)\right],\qquad r\in\left[r_{\min}(\theta),\,r_{\max}(\theta)\right].

Passo 8

Comentário sobre simetria e versões reduzidas: o enunciado menciona “usando simetria em duas vezes”. Uma estratégia prática na prova é:
  • Usar simetria em y para integrar só com y\ge0 e multiplicar por 2 (porque a região é simétrica em relação ao eixo x).
  • Em coordenadas polares, usar simetria em cima/baixo para integrar em \theta\ge0 e multiplicar por 2 (ou integrar de 0 a \arctan(\dots) e multiplicar por 2). Aqui eu apresentei os limites simétricos completos (de -\theta_0 a \theta_0); você pode optar por integrar apenas de 0 a \theta_0 e multiplicar por 2 quando conveniente na prova.

Passo 9

Resumo final das expressões pedidas (vou apresentar as respostas finais de forma compacta, prontas para inserir no Moodle).
  • Forma com y variável externa:
I=\int_{y=-\frac{9}{2}}^{\frac{9}{2}}\int_{x=\sqrt{\frac{5}{3}(y^{2}+6)}}^{\frac{5}{3}\sqrt{36-y^{2}}} f(x,y)\,dx\,dy.
  • Forma em coordenadas polares (limites):
\theta\in\left[-\arctan\!\left(\frac{9}{5\sqrt{7}}\right),\;\arctan\!\left(\frac{9}{5\sqrt{7}}\right)\right], \qquad r\in\left[\sqrt{\dfrac{30}{3\cos^{2}\theta-5\sin^{2}\theta}},\;\sqrt{\dfrac{900}{9\cos^{2}\theta+25\sin^{2}\theta}}\right].

Resposta

a) y\in\left[-\dfrac{9}{2},\dfrac{9}{2}\right],\quad x\in\left[\sqrt{\dfrac{5}{3}\,(y^{2}+6)},\;\dfrac{5}{3}\sqrt{36-y^{2}}\right]
b) i) y\in\left[-\dfrac{9}{2},\dfrac{9}{2}\right]
i) \theta\in\left[-\arctan\!\left(\dfrac{9}{5\sqrt{7}}\right),\;\arctan\!\left(\dfrac{9}{5\sqrt{7}}\right)\right]
ii) x\in\left[\sqrt{10},\,10\right]
ii) r\in\left[\sqrt{\dfrac{30}{\,3\cos^{2}\theta-5\sin^{2}\theta\,}},\;\sqrt{\dfrac{900}{\,9\cos^{2}\theta+25\sin^{2}\theta\,}}\right]

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