Mostre que \Im\left[\frac{1-i \sqrt{3}}{2-2 i}\right]=\frac{1-\sqrt{3}}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a parte imaginária de
\frac{1 - i\sqrt{3}}{2 - 2i}
ou seja, queremos encontrar \Im\Bigl(\tfrac{1 - i\sqrt{3}}{2 - 2i}\Bigr). Para isso vamos usar a técnica de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, de modo a escrever a fração na forma a + bi.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por 2 + 2i, que é o conjugado de 2 - 2i:
\frac{1 - i\sqrt{3}}{2 - 2i} = \frac{(1 - i\sqrt{3})(2 + 2i)}{(2 - 2i)(2 + 2i)}.

Passo 3

Expandimos o numerador:
(1 - i\sqrt{3})(2 + 2i) = 1\cdot2 + 1\cdot2i - i\sqrt{3}\cdot2 - i\sqrt{3}\cdot2i.
Como i^2=-1, temos
= 2 + 2i - 2i\sqrt{3} - 2i^2\sqrt{3} = 2 + 2i - 2i\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (2 + 2\sqrt{3}) + 2(1 - \sqrt{3})\,i.

Passo 4

Calculamos o denominador:
(2 - 2i)(2 + 2i) = 2^2 - (2i)^2 = 4 - (-4) = 8.

Passo 5

Assim a fração fica
\frac{(2 + 2\sqrt{3}) + 2(1 - \sqrt{3})\,i}{8} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{8} \;+\; \frac{2(1 - \sqrt{3})}{8}\,i = \frac{1 + \sqrt{3}}{4} \;+\; \frac{1 - \sqrt{3}}{4}\,i.

Passo 6

Da forma \displaystyle \frac{1 + \sqrt{3}}{4} + \frac{1 - \sqrt{3}}{4}\,i, a parte imaginária é
\Im\Bigl(\tfrac{1 - i\sqrt{3}}{2 - 2i}\Bigr) = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}.

Resposta

\frac{1 - \sqrt{3}}{4}.

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