Dados vértices z_{1}, z_{2}, z_{3} de um paralelogramo, determine z_{4} oposto a z_{2}. Esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá três vértices z_{1},z_{2},z_{3} de um paralelogramo no plano complexo e pede o quarto vértice z_{4} que fique oposto a z_{2}.
Conteúdo: interpretação de números complexos como vetores em \mathbb{R}^{2} e uso da propriedade de que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio.
Passo 2
Vamos ver cada número complexo como um vetor: \overrightarrow{OZ_{k}} = z_{k}. Num paralelogramo, as diagonais Z_{1}Z_{3} e Z_{2}Z_{4} se cruzam em seu ponto médio. Logo, o ponto médio de Z_{1}Z_{3} coincide com o ponto médio de Z_{2}Z_{4}.
Passo 3
Seja M o ponto médio das diagonais. Então
M = \frac{z_{1}+z_{3}}{2} \quad\text{e}\quad M = \frac{z_{2}+z_{4}}{2}.
Como esses dois valores de M são iguais, temos
\frac{z_{1}+z_{3}}{2} = \frac{z_{2}+z_{4}}{2}.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando z_{4}, obtemos