1. Dados vértices z_{1}, z_{2}, z_{3} de um paralelogramo, determine z_{4} oposto a z_{2}. Esboce o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá três vértices z_{1},z_{2},z_{3} de um paralelogramo no plano complexo e pede o quarto vértice z_{4} que fique oposto a z_{2}.
Conteúdo: interpretação de números complexos como vetores em \mathbb{R}^{2} e uso da propriedade de que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio.

Passo 2

Vamos ver cada número complexo como um vetor: \overrightarrow{OZ_{k}} = z_{k}. Num paralelogramo, as diagonais Z_{1}Z_{3} e Z_{2}Z_{4} se cruzam em seu ponto médio. Logo, o ponto médio de Z_{1}Z_{3} coincide com o ponto médio de Z_{2}Z_{4}.

Passo 3

Seja M o ponto médio das diagonais. Então
M = \frac{z_{1}+z_{3}}{2} \quad\text{e}\quad M = \frac{z_{2}+z_{4}}{2}.
Como esses dois valores de M são iguais, temos
\frac{z_{1}+z_{3}}{2} = \frac{z_{2}+z_{4}}{2}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2 e isolando z_{4}, obtemos
z_{1}+z_{3} = z_{2}+z_{4} \quad\Longrightarrow\quad z_{4} = z_{1} + z_{3} - z_{2}.

Passo 5

Para esboçar o paralelogramo, faça o seguinte no plano complexo:
  1. Marque o ponto z_{1}.
  2. A partir de z_{1}, desenhe o vetor até z_{2}, marcando z_{2}.
  3. A partir de z_{1}, desenhe o vetor até z_{3}, marcando z_{3}.
  4. Calcule z_{4}=z_{1}+z_{3}-z_{2} e marque esse ponto.
  5. Una z_{2} a z_{3} e z_{4} a z_{1}. Assim fechamos o paralelogramo com vértices em ordem z_{1}\to z_{2}\to z_{4}\to z_{3}\to z_{1}.

Resposta

z_{4} = z_{1} + z_{3} - z_{2}.

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