Mostre que \left|\frac{1-i \sqrt{2}}{\sqrt{2}+i}\right|=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o módulo do número complexo
\displaystyle \frac{1 - i\sqrt{2}}{\sqrt{2} + i}
é igual a 1. Vamos usar propriedades básicas de módulo de números complexos.

Passo 2

Usamos a propriedade de que, para quaisquer complexos z e w\neq0, vale
\left|\frac{z}{w}\right| \;=\;\frac{|z|}{|w|}.

Passo 3

Calculemos o módulo do numerador z = 1 - i\sqrt{2}.
Pela definição,
|z| = \sqrt{\bigl(\Re(z)\bigr)^2 + \bigl(\Im(z)\bigr)^2} = \sqrt{1^2 + \bigl(-\sqrt{2}\bigr)^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}.

Passo 4

Agora o módulo do denominador w = \sqrt{2} + i.
|w| = \sqrt{\bigl(\Re(w)\bigr)^2 + \bigl(\Im(w)\bigr)^2} = \sqrt{\bigl(\sqrt{2}\bigr)^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}.

Passo 5

Pelo Passo 2,
\left|\frac{1 - i\sqrt{2}}{\sqrt{2} + i}\right| = \frac{|1 - i\sqrt{2}|}{|\sqrt{2} + i|} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados