1 “Mostre” que o índice optico é uma função da côr da luz em um meio.

Passo 1

A questão pede para mostrar que o índice óptico de um meio varia com a cor (ou frequência) da luz, ou seja, n = n(λ) ou n = n(ω). Para isso, vamos recorrer ao modelo de propagação de ondas eletromagnéticas em meios materiais e à dependência da permissividade elétrica com a frequência.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação de onda em um meio homogêneo e isotrópico, obtida a partir das equações de Maxwell. Para um campo elétrico harmônico
E(r,t)=E0,e^i(kcdotr-omega t),
o vetor de onda satisfaz
k^2=mu(omega),varepsilon(omega),omega^2,
sendo mu(omega) a permeabilidade magnética e varepsilon(omega) a permissividade elétrica do meio.

Passo 3

Como definição, a velocidade de fase da onda é
vp=omegak=1raizmu(omega),varepsilon(omega)
Então o índice óptico é
n(omega)=cvp=c,raizmu(omega),varepsilon(omega)

Passo 4

Em materiais não magnéticos típicos (como vidros e líquidos), podemos aproximar mu(omega)approxmu0 constante. Logo
n(omega)approxraizvarepsilonr(omega),
onde varepsilonr(omega)=varepsilon(omega)/varepsilon0. Como a resposta dos dipolos do meio (modelo de Lorentz) faz varepsilonr depender de omega, segue que n depende de omega.

Passo 5

No modelo clássico de dispersão (osciladores de Lorentz), a permissividade relativa é dada por
varepsilonr(omega)=1+sumjNj e^2/mj,omega0j^2-omega^2-igammajomega,
o que mostra explicitamente que varepsilonr e, portanto, n variam com a frequência omega.

Passo 6

Concluímos que, como vp e varepsilon dependem de omega, o índice de refração
n(omega)=cvp(omega)
és uma função da frequência (ou cor) da luz.

Resposta

O índice óptico depende da cor porque a permissividade elétrica do meio varia com a frequência da luz, levando a n = n(ω), ou equivalentemente n = n(λ).

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