1. Tem-se uma barra de comprimento L, suspensa por uma de suas extremidades, de modo a oscilar livremente como um pêndulo composto. Encontre: (a) o período; (b) o comprimento do pêndulo simples equivalente; © o período de oscilação se a barra for suspensa por um eixo que está uma distância, de uma das extremidades, igual ao comprimento do pêndulo simples equivalente determinado previamente.
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Resp.: a) \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{2 \mathrm{~L}}{3 \mathrm{~g}}} \quad ; b) \quad L_{e q}=\frac{2 \mathrm{~L}}{3} \quad ; c) \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{2 \mathrm{~L}}{3 \mathrm{~g}}} .

Passo 1

O enunciado descreve uma barra uniforme de comprimento L suspensa por uma de suas extremidades, oscilando como pêndulo composto. Precisamos: (a) do período de pequenas oscilações, (b) do comprimento Leq de um pêndulo simples que tenha o mesmo período e © do novo período se o eixo de suspensão ficar a uma distância igual a Leq de uma das extremidades. Vamos usar definição de pêndulo composto, momento de inércia e teorema dos eixos paralelos.

Passo 2

A fórmula geral para o período de um pêndulo composto é
T = 2piraizIm g d
onde I é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação e d é a distância do eixo ao centro de massa. Para nossa barra com eixo na extremidade: I = tfrac13mL^2 e d = tfracL2. Substituindo,
T = 2piraiztfrac13mL^2m g ,(L/2) = 2piraiz2L3g

Passo 3

O período de um pêndulo simples de comprimento Leq é T = 2piraizLeq/g. Igualando ao período encontrado:
2piraizLeqg = 2piraiz2L3g implies Leq = 2L3

Passo 4

Agora o eixo está a uma distância a = Leq = 2L/3 da extremidade. A distância do centro de massa ao novo eixo é
d' = l|L2 - 2L3r| = L6
O momento de inércia em relação ao centro de massa é Icm = tfrac112mL^2. Pelo teorema dos eixos paralelos:
I' = Icm + m d'^2 = 112mL^2 + ml(L6r)^2 = 19mL^2
Então o novo período é
T' = 2piraizI'm g d' = 2piraiztfrac19mL^2m g ,(L/6) = 2piraiz2L3g,
ou seja, o mesmo de antes.

Passo 5

O resultado mostra que, mesmo mudando o ponto de suspensão para a posição correspondente ao pêndulo simples equivalente, o período permanece T = 2piraiz2L/(3g).

Resposta

a) T = 2piraiztfrac2L3g ; b) Leq = tfrac2L3 ; c) T = 2piraiztfrac2L3g.

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