Duas partículas de massas m1 e m2, ligadas por uma mola de constante elástica K e tamanho L, estão em repouso sobre uma superfície horizontal lisa. Fazendo-se esse sistema massa+mola executar um MHS, qual seria a sua frequência?

Passo 1

O enunciado fala de duas massas m1 e m2 ligadas por uma mola de constante elástica K e comprimento natural L sobre uma superfície lisa. A ideia é fazer vibrar esse sistema e achar a frequência do MHS. Esse problema envolve o conceito de massa reduzida e a separação do movimento em centro de massa e modo relativo.

Passo 2

Definimos as posições das massas como x1 e x2. Para separar o movimento, introduzimos: o centro de massa
Xcm=m1x1+m2x2m1+m2
e a coordenada relativa
zeta=x2-x1-L
O centro de massa não sente força da mola (faz MCU sem mola), e a vibração fica toda em zeta. A equação de movimento nessa coordenada é de um MHS:
mu,ddotzeta +K,zeta=0
onde
mu=m1m2m1+m2
é a massa reduzida.

Passo 3

Da equação muddotzeta+Kzeta=0 vemos que a frequência angular do oscilador é
$$
\omega=\sqrt{\frac{K}{\mu}} omega=raizKmuêé
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K(m_1+m_2)}{m_1m_2}}$$

Resposta

A frequência do MHS é f=dfrac12piraizdfracK(m1+m2)m1m2.

Exercícios relacionados