Mostre por indução que:
Se a>0 e x>0 são números reais então (a+x)^n >= a^n+n x a^n-1, forall n in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos por indução matemática que, dados reais positivos a>0 e x>0, vale
(a+x)^n >= a^n + n x a^n-1, forall n in N
Vamos usar a técnica de indução: verificar o caso base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1. Temos
(a+x)^1 = a+x
e queremos comparar com
a^1 + 1cdot x,a^1-1 = a + xcdot a^0 = a + x
Como
(a+x) = a + x,
o caso base está confirmado.

Passo 3

Suponha que para algum ninN valha
(a+x)^n >= a^n + n x a^n-1
Multiplicando ambos os lados por (a+x), que é positivo, obtemos
(a+x)^n+1 >= (a^n + n x a^n-1)(a+x)
Expandindo o produto:
(a^n + n x a^n-1)(a+x) = a^n+1 + x a^n + n x a^n + n x^2 a^n-1 = a^n+1 + (n+1)x a^n + n x^2 a^n-1
Como n x^2 a^n-1>=0, segue
(a+x)^n+1 >= a^n+1 + (n+1)x a^n,
que fecha o passo indutivo.

Resposta

Pelo princípio da indução, concluímos que para todo ninN vale
(a+x)^n >= a^n + n x a^n-1

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