Considere a progressão geométrica (P.G.) de razão
e primeiro termo
.
Estabeleça uma fórmula para
, o
-ésimo termo, e demonstre-a por indução.
Estabeleça uma fórmula para
Passo 1
O enunciado pede para achar o n-ésimo termo de uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão
, e depois provar essa fórmula por indução. Vamos usar conhecimentos de sequências (definição de P.G.) e o princípio de indução matemática.
Passo 2
Pelo padrão das progressões geométricas, a gente conjectura que o termo geral seja:
Passo 3
Base da indução: para
, o lado direito dá
, que coincide com o próprio
. Logo, a fórmula vale para
.
Passo 4
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
. Como a definição de P.G. diz que cada termo é o anterior vezes
, temos:
Passo 5
Assim, a fórmula vale também para
. Pelo princípio de indução, ela é verdadeira para todo
.
Resposta
A fórmula do n-ésimo termo é
.