Considere a progressão geométrica (P.G.) de razão q neq 1 e primeiro termo a1.
Estabeleça uma fórmula para an, o n-ésimo termo, e demonstre-a por indução.

Passo 1

O enunciado pede para achar o n-ésimo termo de uma progressão geométrica com primeiro termo a1 e razão qneq1, e depois provar essa fórmula por indução. Vamos usar conhecimentos de sequências (definição de P.G.) e o princípio de indução matemática.

Passo 2

Pelo padrão das progressões geométricas, a gente conjectura que o termo geral seja:
an = a1,q^n-1

Passo 3

Base da indução: para n=1, o lado direito dá a1q^1-1=a1q^0=a1, que coincide com o próprio a1. Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 4

Passo indutivo: suponha que para algum k>=1 valha ak = a1q^k-1. Como a definição de P.G. diz que cada termo é o anterior vezes q, temos:
ak+1 = ak cdot q = l(a1q^k-1r)q = a1q^k

Passo 5

Assim, a fórmula vale também para n=k+1. Pelo princípio de indução, ela é verdadeira para todo ninN.

Resposta

A fórmula do n-ésimo termo é an = a1 q^n-1.

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