Densidade superficial de massa não uniforme, sigma=a x y ( a é uma constante).
(Dicas: d m=sigma d a, r=x i+y j+z k, d a=d x d y )

Passo 1

Beleza, temos uma lâmina plana no plano xy, ocupando o quadrado 0≤x≤1 e 0≤y≤1, com densidade superficial não uniforme
sigma(x,y)=a,x,y,, a=constante
O objetivo é achar o centro de massa .
Para isso vamos precisar de:
– dm = σ dA (definição de massa elemental)
– dA = dx dy (área elemental)
– Fórmulas de centro de massa bidimensional:

– Primeiro achamos M, depois e .

Passo 2

Calcular a massa total
M=integral duplaRsigma,dA=integraly=0^1!integralx=0^1 a,x,y;dx,dy,
Começando pela integral em x:
M = aintegral0^1(integral0^1 x,dx)y,dy = aintegral0^112,y,dy = a2cdoty^22|0^1 = a4, ,
então

Passo 3

Calcular bar x =1Mintegral duplaR x,dm =1Mintegral duplaR x,sigma,dA =1Mintegral0^1!integral0^1 x,(a,x,y),dx,dy =aMintegral0^1!integral0^1 x^2,y,dx,dy
bar x =aMintegral0^113,y,dy =aMcdot13cdoty^22|0^1 =aMcdot16 =a(a/4)cdot16 =46 =23
Fazendo a integral em x primeiro:
, vem

Passo 4

Calcular bar y =1Mintegral duplaR y,(a,x,y),dx,dy =aMintegral0^1!integral0^1 x,y^2,dx,dy
Exatamente a mesma ideia, só que trocando x por y:
bar y =aMintegral0^112,y^2,dy =aMcdot12cdoty^33|0^1 =aMcdot16 =a(a/4)cdot16 =46 =23
Agora integra em x primeiro: ,

Resposta

O centro de massa da lâmina é
boxedl(bar x,bar yr)=l(tfrac23,;tfrac23r)

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