Densidade superficial de massa não uniforme, ( é uma constante).
(Dicas: )
Passo 1
Beleza, temos uma lâmina plana no plano xy, ocupando o quadrado 0≤x≤1 e 0≤y≤1, com densidade superficial não uniforme
O objetivo é achar o centro de massa .
Para isso vamos precisar de:
– dm = σ dA (definição de massa elemental)
– dA = dx dy (área elemental)
– Fórmulas de centro de massa bidimensional:
– Primeiro achamos M, depois e .
Passo 2
Calcular a massa total
Começando pela integral em x: ,
então
Passo 3
Calcular bar x =1Mintegral duplaR x,dm =1Mintegral duplaR x,sigma,dA =1Mintegral0^1!integral0^1 x,(a,x,y),dx,dy =aMintegral0^1!integral0^1 x^2,y,dx,dy
bar x =aMintegral0^113,y,dy =aMcdot13cdoty^22|0^1 =aMcdot16 =a(a/4)cdot16 =46 =23
Fazendo a integral em x primeiro: , vem
Passo 4
Calcular bar y =1Mintegral duplaR y,(a,x,y),dx,dy =aMintegral0^1!integral0^1 x,y^2,dx,dy
Exatamente a mesma ideia, só que trocando x por y:
bar y =aMintegral0^112,y^2,dy =aMcdot12cdoty^33|0^1 =aMcdot16 =a(a/4)cdot16 =46 =23