Mostre que a inércia rotacional de uma esfera sólida uniforme de raio R em torno de um eixo z é dado por I=25 M R^2. (Dicas: d m= rho r^2 sin theta d r d phi d theta) com rho=M33 pi R^3 ; r^2=x^2+y^2+z^2 com z=0, x=r sin phi cos theta e y=r sin phi sin theta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o momento de inércia de uma esfera sólida uniforme de massa M e raio R em torno de um eixo z é \r
I=25MR^2 \r
O conteúdo é cálculo de momento de inércia por integração em coordenadas esféricas, usando distribuição de massa contínua.

Passo 2

A densidade de massa volumétrica é
rho=Mtfrac43pi R^3 \r
Em coordenadas esféricas (r,phi,theta) com rin[0,R], phiin[0,pi] e thetain[0,2pi], um elemento de massa vale \r
dm=rho,r^2sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 3

Para o eixo z, o quadrado da distância perpendicular é
rperp^2=x^2+y^2 \r
Em coordenadas esféricas temos
x=rsinphicostheta, y=rsinphisintheta, \r
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rperp=rsinphi

Passo 4

O momento de inércia é \r
I=integral rperp^2,dm =rho integral0^2pi!!integral0^pi!!integral0^R(rsinphi)^2,r^2sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 5

Separamos a integral em parte angular e radial:
I =rho l[integral0^2pidthetar] l[integral0^pisin^3phi,dphir] l[integral0^Rr^4,drr] \r
Sabemos que
integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pisin^3phi,dphi=43

Passo 6

A parte radial é
integral0^Rr^4,dr=R^55 \r
Substituindo na expressão de I
I =rho;l(2pir);43;R^55 =rho,8pi R^515

Passo 7

Finalmente, usando rho=dfracMtfrac43pi R^3, obtemos
I =8pi R^515,Mtfrac43pi R^3 =8pi R^515,3M4pi R^3 =25MR^2

Resposta

I=25MR^2

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