Mostre que a inércia rotacional de uma esfera sólida uniforme de raio R em torno de um eixo
é dado por
. (Dicas:
com
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o momento de inércia de uma esfera sólida uniforme de massa
e raio
em torno de um eixo
é \r
O conteúdo é cálculo de momento de inércia por integração em coordenadas esféricas, usando distribuição de massa contínua.
Passo 2
A densidade de massa volumétrica é
Em coordenadas esféricas
com
,
e
, um elemento de massa vale \r
Passo 3
Para o eixo
, o quadrado da distância perpendicular é
Em coordenadas esféricas temos
logo
Passo 4
O momento de inércia é \r
Passo 5
Separamos a integral em parte angular e radial:
Sabemos que
Passo 6
A parte radial é
Substituindo na expressão de
dá
Passo 7
Finalmente, usando
, obtemos