Q1. Duas cargas positivas +q estão situadas no eixo y nos pontos coordenados
e
e duas cargas negativas
estão situadas no eixo
nos pontos coordenados (
) e
. A) Determine o campo elétrico no ponto coordenado (
). B) Qual o campo elétrico na origem do sistema coordenado ( 0,0 )? C) Baseados nos resultados acima, existe algum ponto sobre o eixo
em que o campo elétrico é nulo? Explique. D) Colocando-se uma carga -Q no ponto ( 2 a , 0 ) qual será a força elétrica sentida por essa carga?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de campos elétricos! O enunciado fala sobre quatro cargas: duas positivas no eixo y e duas negativas no eixo x. Precisamos calcular o campo elétrico em diferentes pontos e verificar se existe algum ponto no eixo x onde o campo é zero. Além disso, vamos ver a força que uma carga adicional sofre quando colocada em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e a lei de Coulomb.
Passo 2
Parte A: Campo elétrico no ponto (0, 2a)
Primeiro, vamos identificar quais cargas influenciam o ponto (0, 2a). As duas cargas positivas estão localizadas em (0, a) e (0, -a), e as negativas em (-a, 0) e (-2a, 0).
Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada carga no ponto (0, 2a) usando a fórmula:
onde
é a constante eletrostática,
é a carga,
é a distância entre a carga e o ponto, e
é o vetor unitário na direção de
.
Campo das cargas positivas:
-
Carga em (0, a):
- Distância para (0, 2a):
- Direção: para cima
- Distância para (0, 2a):
-
Carga em (0, -a):
- Distância para (0, 2a):
- Direção: para cima
- Distância para (0, 2a):
Campo das cargas negativas:
-
Carga em (-a, 0):
- Distância para (0, 2a):
- Direção: em direção à carga (para baixo e para a esquerda)
- Distância para (0, 2a):
-
Carga em (-2a, 0):
- Distância para (0, 2a):
- Direção: em direção à carga (para baixo e para a esquerda)
- Distância para (0, 2a):
Vamos calcular os componentes
e
de cada campo e somá-los para obter o campo total no ponto.
Passo 3
Calculando os componentes dos campos:
Vamos considerar
e
como a carga positiva ou negativa.
-
Carga em (0, a):
-
- Apenas componente Y:
-
-
Carga em (0, -a):
-
- Apenas componente Y:
-
-
Carga em (-a, 0):
-
- Componentes:
-
-
-
Carga em (-2a, 0):
-
- Componentes:
-
-
Somando as componentes:
Passo 4
Calculando os valores numéricos:
Vamos simplificar as expressões:
Componente X:
Componente Y:
Podemos fatorar
:
Plugando os valores para
,
, e
, podemos obter os valores numéricos.
Passo 5
Conclusão para a Parte A:
Após realizar os cálculos, obtemos os componentes
e
do campo elétrico no ponto (0, 2a). O campo elétrico total é a combinação vetorial desses componentes.
Passo 6
Parte B: Campo elétrico na origem (0,0)
Agora vamos calcular o campo elétrico no ponto (0,0).
Campo das cargas positivas:
-
Carga em (0, a):
- Distância para (0,0):
- Direção: para baixo
- Distância para (0,0):
-
Carga em (0, -a):
- Distância para (0,0):
- Direção: para cima
- Distância para (0,0):
Campo das cargas negativas:
-
Carga em (-a, 0):
- Distância para (0,0):
- Direção: para a direita
- Distância para (0,0):
-
Carga em (-2a, 0):
- Distância para (0,0):
- Direção: para a direita
- Distância para (0,0):
Vamos calcular os componentes e somar.
Passo 7
Calculando os componentes dos campos na origem:
-
Carga em (0, a):
-
- Apenas componente Y:
(para baixo)
-
-
Carga em (0, -a):
-
- Apenas componente Y:
(para cima)
-
-
Carga em (-a, 0):
-
- Apenas componente X:
(para a direita)
-
-
Carga em (-2a, 0):
-
- Apenas componente X:
(para a direita)
-
Somando as componentes:
Passo 8
Conclusão para a Parte B:
O campo elétrico na origem é puramente na direção X, com valor:
Passo 9
Parte C: Existe algum ponto no eixo X onde o campo elétrico é nulo?
Vamos analisar o eixo X. Queremos encontrar um ponto onde o campo elétrico total seja zero.
No eixo X, as cargas positivas não influenciam diretamente, pois estão acima e abaixo. Apenas as cargas negativas contribuem para o campo no eixo X.
Para que o campo seja nulo, as contribuições das duas cargas negativas devem se cancelar.
Vamos estabelecer a equação:
Resolvendo para
, encontramos se existe um ponto onde os campos se anulam.
Passo 10
Resolvendo a equação para encontrar o ponto no eixo X onde o campo é zero:
Igualando as magnitudes dos campos das duas cargas negativas:
Isso implica que
, ou seja,
, portanto
.
Portanto, no ponto
, os campos das duas cargas negativas se cancelam, tornando o campo elétrico total nulo.
Passo 11
Conclusão para a Parte C:
Sim, existe um ponto no eixo X onde o campo elétrico é nulo, especificamente no ponto
.
Passo 12
Parte D: Força elétrica na carga -Q localizada em (2a, 0)
Vamos calcular a força que a carga -Q sofre quando colocada no ponto (2a, 0).
A força elétrica é dada por:
Primeiro, precisamos determinar o campo elétrico no ponto (2a, 0) devido às quatro cargas existentes.
Passo 13
Calculando o campo elétrico no ponto (2a, 0):
As cargas presentes são:
- Cargas positivas em (0, a) e (0, -a)
- Cargas negativas em (-a, 0) e (-2a, 0)
Vamos calcular o campo de cada uma no ponto (2a, 0).
-
Carga em (0, a):
- Distância:
- Direção: em direção à carga (já que a carga é positiva e o ponto está à direita)
- Componentes:
-
- Distância:
-
Carga em (0, -a):
- Distância:
- Direção: em direção à carga
- Componentes:
-
- Distância:
-
Carga em (-a, 0):
- Distância:
- Direção: para a esquerda (já que a carga é negativa)
- Apenas componente X:
- Distância:
-
Carga em (-2a, 0):
- Distância:
- Direção: para a esquerda
- Apenas componente X:
- Distância:
Somando as componentes:
Passo 14
Calculando a força elétrica:
Agora que temos o campo elétrico no ponto (2a, 0), podemos calcular a força sobre a carga -Q:
Substituindo os valores de
e
calculados anteriormente.
Passo 15
Conclusão para a Parte D:
Após realizar os cálculos, a força elétrica na carga -Q em (2a, 0) é dada por:
onde
e
são os componentes do campo elétrico no ponto (2a, 0) que calculamos anteriormente.
Resposta
A força elétrica sentida pela carga -Q no ponto (2a, 0) é dada por
, onde
e
são os componentes do campo elétrico calculados no ponto.