Q1. Duas cargas positivas +q estão situadas no eixo y nos pontos coordenados (0, a) e (0,-a) e duas cargas negativas -q estão situadas no eixo times nos pontos coordenados ( -a, 0 ) e (-2 a, 0). A) Determine o campo elétrico no ponto coordenado ( 0,2 a ). B) Qual o campo elétrico na origem do sistema coordenado ( 0,0 )? C) Baseados nos resultados acima, existe algum ponto sobre o eixo x em que o campo elétrico é nulo? Explique. D) Colocando-se uma carga -Q no ponto ( 2 a , 0 ) qual será a força elétrica sentida por essa carga?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de campos elétricos! O enunciado fala sobre quatro cargas: duas positivas no eixo y e duas negativas no eixo x. Precisamos calcular o campo elétrico em diferentes pontos e verificar se existe algum ponto no eixo x onde o campo é zero. Além disso, vamos ver a força que uma carga adicional sofre quando colocada em um ponto específico. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e a lei de Coulomb.

Passo 2

Parte A: Campo elétrico no ponto (0, 2a)
Primeiro, vamos identificar quais cargas influenciam o ponto (0, 2a). As duas cargas positivas estão localizadas em (0, a) e (0, -a), e as negativas em (-a, 0) e (-2a, 0).
Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada carga no ponto (0, 2a) usando a fórmula:
E = k qr^2 r
onde k é a constante eletrostática, q é a carga, r é a distância entre a carga e o ponto, e r é o vetor unitário na direção de r .
Campo das cargas positivas:
  • Carga em (0, a):
    • Distância para (0, 2a): r = 2a - a = a
    • Direção: para cima
  • Carga em (0, -a):
    • Distância para (0, 2a): r = 2a - (-a) = 3a
    • Direção: para cima
Campo das cargas negativas:
  • Carga em (-a, 0):
    • Distância para (0, 2a): r = raiza^2 + (2a)^2 = raiz5a
    • Direção: em direção à carga (para baixo e para a esquerda)
  • Carga em (-2a, 0):
    • Distância para (0, 2a): r = raiz(2a)^2 + (2a)^2 = raiz8a
    • Direção: em direção à carga (para baixo e para a esquerda)
Vamos calcular os componentes Ex e Ey de cada campo e somá-los para obter o campo total no ponto.

Passo 3

Calculando os componentes dos campos:
Vamos considerar k = 8,99 times 10^9 , N·m²/C² ²² e q como a carga positiva ou negativa.
  1. Carga em (0, a):
    • E = k qa^2
    • Apenas componente Y: E1y = k qa^2
  2. Carga em (0, -a):
    • E = k q(3a)^2 = k q9a^2
    • Apenas componente Y: E2y = k q9a^2
  3. Carga em (-a, 0):
    • E = k q5a^2
    • Componentes:
      • E3x = -E araiz5a = -k q5a^2 times araiz5a = -k q5a^2 times 1raiz5 = -k q5raiz5a^2
      • E3y = -E 2araiz5a = -k q5a^2 times 2araiz5a = -k 2q5raiz5a^2
  4. Carga em (-2a, 0):
    • E = k q8a^2
    • Componentes:
      • E4x = -E 2araiz8a = -k q8a^2 times 22raiz2 = -k q8a^2 times 1raiz2 = -k q8raiz2a^2
      • E4y = -E 2araiz8a = -k q8a^2 times 22raiz2 = -k q8a^2 times 1raiz2 = -k q8raiz2a^2
Somando as componentes:
  • Ex = E3x + E4x = -k q5raiz5a^2 - k q8raiz2a^2
  • Ey = E1y + E2y + E3y + E4y = k qa^2 + k q9a^2 - k 2q5raiz5a^2 - k q8raiz2a^2

Passo 4

Calculando os valores numéricos:
Vamos simplificar as expressões:
Componente X:
Ex = -k q ( 15raiz5a^2 + 18raiz2a^2 )
Componente Y:
Ey = k q ( 1a^2 + 19a^2 - 25raiz5a^2 - 18raiz2a^2 )
Podemos fatorar k q / a^2 :
Ex = -k qa^2 ( 15raiz5 + 18raiz2 )
Ey = k qa^2 ( 1 + 19 - 25raiz5 - 18raiz2 )
Plugando os valores para k , q , e a , podemos obter os valores numéricos.

Passo 5

Conclusão para a Parte A:
Após realizar os cálculos, obtemos os componentes Ex e Ey do campo elétrico no ponto (0, 2a). O campo elétrico total é a combinação vetorial desses componentes.

Passo 6

Parte B: Campo elétrico na origem (0,0)
Agora vamos calcular o campo elétrico no ponto (0,0).
Campo das cargas positivas:
  • Carga em (0, a):
    • Distância para (0,0): r = a
    • Direção: para baixo
  • Carga em (0, -a):
    • Distância para (0,0): r = a
    • Direção: para cima
Campo das cargas negativas:
  • Carga em (-a, 0):
    • Distância para (0,0): r = a
    • Direção: para a direita
  • Carga em (-2a, 0):
    • Distância para (0,0): r = 2a
    • Direção: para a direita
Vamos calcular os componentes e somar.

Passo 7

Calculando os componentes dos campos na origem:
  1. Carga em (0, a):
    • E = k qa^2
    • Apenas componente Y: E1y = -k qa^2 (para baixo)
  2. Carga em (0, -a):
    • E = k qa^2
    • Apenas componente Y: E2y = k qa^2 (para cima)
  3. Carga em (-a, 0):
    • E = k qa^2
    • Apenas componente X: E3x = k qa^2 (para a direita)
  4. Carga em (-2a, 0):
    • E = k q(2a)^2 = k q4a^2
    • Apenas componente X: E4x = k q4a^2 (para a direita)
Somando as componentes:
  • Ex = E3x + E4x = k qa^2 + k q4a^2 = 5k q4a^2
  • Ey = E1y + E2y = -k qa^2 + k qa^2 = 0

Passo 8

Conclusão para a Parte B:
O campo elétrico na origem é puramente na direção X, com valor:
E = 5k q4a^2 i

Passo 9

Parte C: Existe algum ponto no eixo X onde o campo elétrico é nulo?
Vamos analisar o eixo X. Queremos encontrar um ponto onde o campo elétrico total seja zero.
No eixo X, as cargas positivas não influenciam diretamente, pois estão acima e abaixo. Apenas as cargas negativas contribuem para o campo no eixo X.
Para que o campo seja nulo, as contribuições das duas cargas negativas devem se cancelar.
Vamos estabelecer a equação:
k qx^2 = k q(2a - x)^2
Resolvendo para x , encontramos se existe um ponto onde os campos se anulam.

Passo 10

Resolvendo a equação para encontrar o ponto no eixo X onde o campo é zero:
Igualando as magnitudes dos campos das duas cargas negativas:
1x^2 = 1(2a - x)^2
Isso implica que x = 2a - x , ou seja, 2x = 2a , portanto x = a .
Portanto, no ponto x = a , os campos das duas cargas negativas se cancelam, tornando o campo elétrico total nulo.

Passo 11

Conclusão para a Parte C:
Sim, existe um ponto no eixo X onde o campo elétrico é nulo, especificamente no ponto x = a .

Passo 12

Parte D: Força elétrica na carga -Q localizada em (2a, 0)
Vamos calcular a força que a carga -Q sofre quando colocada no ponto (2a, 0).
A força elétrica é dada por:
F = Q E
Primeiro, precisamos determinar o campo elétrico no ponto (2a, 0) devido às quatro cargas existentes.

Passo 13

Calculando o campo elétrico no ponto (2a, 0):
As cargas presentes são:
  • Cargas positivas em (0, a) e (0, -a)
  • Cargas negativas em (-a, 0) e (-2a, 0)
Vamos calcular o campo de cada uma no ponto (2a, 0).
  1. Carga em (0, a):
    • Distância: r = raiz(2a)^2 + a^2 = raiz5a
    • Direção: em direção à carga (já que a carga é positiva e o ponto está à direita)
    • Componentes:
      • E1x = k q5a^2 times 2araiz5a = 2k q5raiz5a^2
      • E1y = k q5a^2 times araiz5a = k q5raiz5a^2
  2. Carga em (0, -a):
    • Distância: r = raiz(2a)^2 + a^2 = raiz5a
    • Direção: em direção à carga
    • Componentes:
      • E2x = k q5a^2 times 2araiz5a = 2k q5raiz5a^2
      • E2y = k q5a^2 times araiz5a = k q5raiz5a^2
  3. Carga em (-a, 0):
    • Distância: r = 3a
    • Direção: para a esquerda (já que a carga é negativa)
    • Apenas componente X: E3x = k q9a^2
  4. Carga em (-2a, 0):
    • Distância: r = 4a
    • Direção: para a esquerda
    • Apenas componente X: E4x = k q16a^2
Somando as componentes:
  • Ex = 2k q5raiz5a^2 + 2k q5raiz5a^2 - k q9a^2 - k q16a^2
  • Ey = k q5raiz5a^2 + k q5raiz5a^2 = 2k q5raiz5a^2

Passo 14

Calculando a força elétrica:
Agora que temos o campo elétrico no ponto (2a, 0), podemos calcular a força sobre a carga -Q:
F = -Q E
Substituindo os valores de Ex e Ey calculados anteriormente.

Passo 15

Conclusão para a Parte D:
Após realizar os cálculos, a força elétrica na carga -Q em (2a, 0) é dada por:
F = -Q ( Ex i + Ey j )
onde Ex e Ey são os componentes do campo elétrico no ponto (2a, 0) que calculamos anteriormente.

Resposta

A força elétrica sentida pela carga -Q no ponto (2a, 0) é dada por F = -Q ( Ex i + Ey j ) , onde Ex e Ey são os componentes do campo elétrico calculados no ponto.

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