Um cano com diâmetro interno de 3 cm transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 2 m / s com uma pressão de 200 kPa . Se o cano se estreita para 1 cm e sobe para o 2^circ piso 6 m acima do ponto de entrada. Quais são:
a) A velocidade da água no 2^circ piso? (4pts)
b) A pressão da água no 2^circ piso? (6pts)

Passo 1

Esse problema é de Mecânica dos Fluidos, mais precisamente de escoamento incompressível em dutos, e vamos usar as equações de continuidade e de Bernoulli para resolver.

Passo 2

O primeiro passo é usar a continuidade do escoamento. A área da seção transversal de um cano num escoamento estacionário satisfaz
A₁v₁ = A₂v₂
onde A é a área e v é a velocidade. Como A ~ D², temos
A₁ = pi D₁^24, A₂ = pi D₂^24 implies A₁A₂ = l(D₁D₂r)^2
Substituindo D₁ = 3 cm e D₂ = 1 cm e v₁ = 2 m/s, encontramos
v₂ = v₁ cdot l(31r)^2 = 2 times 9 = 18 m/s

Passo 3

Agora usamos a equação de Bernoulli (sem perdas) entre o ponto 1 (nível de entrada) e o ponto 2 (segundo piso):
p₁ + tfrac12,rho v₁^2 + rho g z₁ = p₂ + tfrac12,rho v₂^2 + rho g z₂
Reorganizando para p₂, com z₁ = 0 e z₂ = 6 m:
p₂ = p₁ + tfrac12,rho (v₁^2 - v₂^2) + rho g (z₁ - z₂)
Substituindo p₁ = 200,kPa (gauge), ρ = 1000 kg/m³, v₁ = 2 m/s, v₂ = 18 m/s, g = 9,81 m/s² e Δz = 6 m:
p₂ = 200000 + 1000 cdot 2^2 - 18^22 + 1000 cdot 9,81 cdot (0 - 6)

Passo 4

Calculando cada termo de pressão dinâmica e de elevação:
1000cdot4-3242 = -160000 Pa, 1000cdot9,81cdot(-6) = -58860 Pa
Somando tudo: p₂ = 200000 - 160000 - 58860 = -18860 Pa (aproximadamente).

Resposta

v₂ = 18 m/s
gauge p₂ ≃ -18,9 kPa

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