Mostre que
\int \frac{d x}{\left(x^{2}+\lambda\right)^{2}}=\frac{x}{2 \lambda\left(x^{2}+\lambda\right)}+\frac{1}{2 \lambda} \int \frac{d x}{x^{2}+\lambda}
Sugestão. \int \frac{d x}{\left(x^{2}+\lambda\right)^{2}}=\int \frac{\left(x^{2}+\lambda\right)-x^{2}}{\left(x^{2}+\lambda\right)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int \frac{dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}} =\frac{x}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)} +\frac{1}{2\lambda}\,\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda}.
O conteúdo aqui é manipular a fração e usar integração por partes. Vamos começar decompondo o integrando.

Passo 2

Note que
\frac{1}{(x^{2}+\lambda)^{2}} =\frac{1}{\lambda}\,\frac{(x^{2}+\lambda)-x^{2}}{(x^{2}+\lambda)^{2}} =\frac{1}{\lambda}\Bigl(\frac{1}{x^{2}+\lambda}-\frac{x^{2}}{(x^{2}+\lambda)^{2}}\Bigr).
Logo, chamando
I=\int \frac{dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}},
temos
I =\frac{1}{\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda} -\frac{1}{\lambda}\int \frac{x^{2}\,dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}}.

Passo 3

Defina
I_2=\int \frac{x^{2}\,dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}}.
Para calcular I_2, use integração por partes. Escolha
u = x, \quad dv = \frac{x\,dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}}.
Então
du = dx, \quad v = \int \frac{x\,dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}}.
Para achar v faça a mudança t=x^{2}+\lambda, dt=2x\,dx, daí
v = \int \frac{x\,dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}} = \int \frac{dt}{2\,t^{2}} = -\frac{1}{2\,t} = -\frac{1}{2\,(x^{2}+\lambda)}.

Passo 4

Agora aplique a fórmula de partes \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du:
I_2 = x\Bigl(-\frac{1}{2(x^{2}+\lambda)}\Bigr) - \int \Bigl(-\frac{1}{2(x^{2}+\lambda)}\Bigr)\,dx = -\frac{x}{2(x^{2}+\lambda)} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda}.

Passo 5

Volte à expressão de I:
I =\frac{1}{\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda} -\frac{1}{\lambda}\,I_2 =\frac{1}{\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda} -\frac{1}{\lambda}\Bigl(-\frac{x}{2(x^{2}+\lambda)}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda}\Bigr).
Distribuindo o -1/\lambda e combinando termos semelhantes,
I =\frac{1}{\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda} +\frac{x}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)} -\frac{1}{2\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda} =\frac{x}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)} +\frac{1}{2\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda}.

Resposta

\int \frac{dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}} =\frac{x}{2\lambda\,(x^{2}+\lambda)} +\frac{1}{2\lambda}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda}.

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