Mostre que \int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+\lambda\right)^{2}} d x=\frac{-x}{2\left(x^{2}+\lambda\right)}+\int \frac{d x}{x^{2}+\lambda}.
Sugestão. Faça \int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+\lambda\right)^{2}} d x=\int \underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{\frac{x}{\left(x^{2}+\lambda\right)^{2}} d x}_{d v}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+\lambda)^{2}}\,dx
usando integral por partes. O conteúdo é reconhecer uma parte u e uma parte dv para aplicar
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\qquad dv = \frac{x}{(x^{2}+\lambda)^{2}}\,dx.
Então
du = dx.

Passo 3

Para v calculamos
v = \int \frac{x}{(x^{2}+\lambda)^{2}}\,dx.
Fazendo a troca t = x^{2}+\lambda, dt = 2x\,dx, vem
v = \int \frac{x\,dx}{(x^{2}+\lambda)^{2}} = \int \frac{dt/2}{t^{2}} = -\frac{1}{2\,t} = -\frac{1}{2\,(x^{2}+\lambda)}.

Passo 4

Aplicando partes:
\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+\lambda)^{2}}\,dx = \int u\,dv = u\,v \;-\!\! \int v\,du = x\!\left(-\frac{1}{2(x^{2}+\lambda)}\right) - \int \Bigl(-\frac{1}{2(x^{2}+\lambda)}\Bigr)\,dx.
Isso é
-\frac{x}{2(x^{2}+\lambda)} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda}.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{(x^{2}+\lambda)^{2}}\,dx = -\frac{x}{2\,(x^{2}+\lambda)} + \tfrac{1}{2}\,\int \frac{dx}{x^{2}+\lambda} + C.

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