Mostre que \int \sqrt{x^{2}+\lambda} d x=\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+\lambda}+\frac{\lambda}{2}\left|x+\sqrt{x^{2}+\lambda}\right|+C.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva
I=\int \sqrt{x^{2}+\lambda}\,dx
que envolve uma função sob raiz quadrada. O método mais direto é usar integração por partes e depois reconhecer a primitiva de \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u=\sqrt{x^{2}+\lambda}, \quad dv=dx.
Então
du=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}\,dx, \quad v=x.
Logo
I = x\sqrt{x^{2}+\lambda} - \int x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}\,dx = x\sqrt{x^{2}+\lambda} - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}\,dx.

Passo 3

No integrando aparecendo x^{2}, reescrevemos
x^{2}=(x^{2}+\lambda)-\lambda
para obter
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}\,dx =\int \frac{x^{2}+\lambda}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}\,dx - \lambda\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\lambda}} =\int \sqrt{x^{2}+\lambda}\,dx - \lambda\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}.
Substituindo de volta em I, vem
I = x\sqrt{x^{2}+\lambda} - \bigl(I - \lambda\!\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}\bigr) = x\sqrt{x^{2}+\lambda}-I + \lambda\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}.
Isolando I:
2I = x\sqrt{x^{2}+\lambda} + \lambda\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}.

Passo 4

Falta calcular \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\lambda}}.
O resultado padrão é
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+\lambda}} =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+\lambda}\bigr|+C.
(Isso pode ser visto por substituição hiperbólica x=\sqrt{\lambda}\operatorname{sinh} t, ou derivando a expressão acima.)

Passo 5

Substituindo na expressão de 2I:
2I = x\sqrt{x^{2}+\lambda} + \lambda\,\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+\lambda}\bigr|
e, portanto,
I =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+\lambda} +\frac{\lambda}{2}\,\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+\lambda}\bigr| + C.

Resposta

\boxed{ \int \sqrt{x^{2}+\lambda}\,dx =\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+\lambda} +\frac{\lambda}{2}\,\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}+\lambda}\bigr| + C }

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