Calcule as integrais indefinidas seguintes
\int\left(2 \cos x-\frac{2}{3} \operatorname{sen} x+7 \operatorname{arcsen} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \Bigl(2\cos x \;-\;\tfrac{2}{3}\operatorname{sen} x \;+\;7\operatorname{arcsen} x\Bigr)\,dx.
O que vamos usar:
  1. Integração termo a termo.
  2. Fatos básicos de trigonometria: \int\cos x\,dx=\operatorname{sen} x, \int\operatorname{sen} x\,dx=-\cos x.
  3. Integração por partes para \int\operatorname{arcsen} x\,dx.

Passo 2

Integramos os dois primeiros termos usando regras diretas:
\int 2\cos x\,dx = 2\operatorname{sen} x,
\int -\tfrac{2}{3}\operatorname{sen} x\,dx = -\tfrac{2}{3}\bigl(-\cos x\bigr)=\tfrac{2}{3}\cos x.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \int \operatorname{arcsen} x\,dx por partes. Tomamos
u = \operatorname{arcsen} x,\quad dv = dx
du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx,\quad v = x.
Então
\int \operatorname{arcsen} x\,dx = x\operatorname{arcsen} x - \int x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 4

Para a integral \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx fazemos t=1-x^2, dt=-2x\,dx, obtendo
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\tfrac12\int t^{-\tfrac12}\,dt = -\sqrt{\,t\,} = -\sqrt{1-x^2}.
Logo
\int \operatorname{arcsen} x\,dx = x\operatorname{arcsen} x - \bigl(-\sqrt{1-x^2}\bigr) = x\operatorname{arcsen} x + \sqrt{1-x^2}.

Passo 5

Multiplicando por 7 e somando tudo, a integral original fica
2\operatorname{sen} x \;+\;\tfrac{2}{3}\cos x \;+\;7\Bigl(x\operatorname{arcsen} x + \sqrt{1-x^2}\Bigr) + C.

Resposta

2\operatorname{sen} x + \tfrac{2}{3}\cos x + 7\,x\operatorname{arcsen} x + 7\sqrt{1-x^2} + C.

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