Calcule as integrais indefinidas seguintes
\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{x^{3}+2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt{x^{3}+2}}.
O conteúdo envolvido é integração por substituição: vamos identificar uma parte da função cuja derivada apareça no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x^{3} + 2.
Então
dt = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{dt}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de t, temos
\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt{x^{3}+2}} = \int \frac{1}{\sqrt{t}}\;\frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\,\int t^{-\tfrac12}\,dt.

Passo 4

Agora integramos a potência de t:
\int t^{-\tfrac12}\,dt = \frac{t^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{t^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,t^{\tfrac12}.

Passo 5

Voltando à constante fora da integral e à substituição, obtemos
\frac{1}{3}\cdot 2\,t^{\tfrac12} + C = \frac{2}{3}\,\sqrt{t} + C = \frac{2}{3}\,\sqrt{x^{3}+2} + C.

Resposta

\int \frac{x^{2}\,dx}{\sqrt{x^{3}+2}} = \frac{2}{3}\,\sqrt{x^{3}+2} + C.

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