Considere F(x, y, z)=\left\langle e^{y}, x e^{y},(z+1) e^{z}\right\rangle e C dada por \alpha=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), t \in [0,1]. Calcule \int_{C} F \cdot d r.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{C} \mathbf{F}\cdot d\mathbf r, onde estão dadas as seguintes informações:
\mathbf{F}(x,y,z)=\left\langle e^{y},\, x e^{y},\, (z+1)e^{z}\right\rangle e a curva C é parametrizada por \alpha(t)=\left(t,\,t^{2},\,t^{3}\right) para t\in[0,1].
Lista dos dados importantes:
\mathbf{F}(x,y,z)=\left\langle e^{y},\, x e^{y},\, (z+1)e^{z}\right\rangle.
\alpha(t)=\left(t,\,t^{2},\,t^{3}\right),\; t\in[0,1].
A integral a calcular é \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf r.

Passo 2

Método prático: usar a parametrização da curva. Regra que usaremos (explicação didática):
A integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada \alpha(t), t\in[a,b], é
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf r=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t)\,dt.
Intuição rápida: d\mathbf r=\alpha'(t)\,dt é o vetor de deslocamento infinitesimal e fazemos produto escalar com \mathbf{F} avaliado nos pontos da curva, depois integramos em t.

Passo 3

Calcular \alpha'(t) derivando componente a componente:
\alpha(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;t^{3}\bigr)\quad\Rightarrow\quad \alpha'(t)=\bigl(1,\;2t,\;3t^{2}\bigr).

Passo 4

Avaliar \mathbf{F} ao longo da curva, ou seja, substituir x=t,\;y=t^{2},\;z=t^{3}:
\mathbf{F}(\alpha(t))=\left\langle e^{t^{2}},\; t e^{t^{2}},\; (t^{3}+1)e^{t^{3}}\right\rangle.

Passo 5

Fazer o produto escalar \mathbf{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t) multiplicando componentes correspondentes e somando:
\begin{aligned} \mathbf{F}(\alpha(t))\cdot \alpha'(t) &= e^{t^{2}}\cdot 1 + \bigl(t e^{t^{2}}\bigr)\cdot (2t) + \bigl((t^{3}+1)e^{t^{3}}\bigr)\cdot (3t^{2})\\[4pt] &= e^{t^{2}} + 2t^{2}e^{t^{2}} + 3t^{2}(t^{3}+1)e^{t^{3}}\\[4pt] &= e^{t^{2}}\bigl(1+2t^{2}\bigr) + 3t^{2}(t^{3}+1)e^{t^{3}}. \end{aligned}]

Passo 6

Montar a integral em t sobre [0,1]:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf r = \int_{0}^{1}\Bigl[e^{t^{2}}\bigl(1+2t^{2}\bigr) + 3t^{2}(t^{3}+1)e^{t^{3}}\Bigr]\,dt.
É conveniente separar em duas integrais:
\int_{0}^{1} e^{t^{2}}\bigl(1+2t^{2}\bigr)\,dt \;+\; \int_{0}^{1} 3t^{2}(t^{3}+1)e^{t^{3}}\,dt.

Passo 7

Avaliar a primeira integral reconhecendo uma derivada conhecida. Observe que
\frac{d}{dt}\bigl(t e^{t^{2}}\bigr)= e^{t^{2}} + t\cdot e^{t^{2}}\cdot 2t = e^{t^{2}}\bigl(1+2t^{2}\bigr).
Portanto
\int_{0}^{1} e^{t^{2}}\bigl(1+2t^{2}\bigr)\,dt = \Bigl[t e^{t^{2}}\Bigr]_{0}^{1} = 1\cdot e^{1} - 0 = e.

Passo 8

Avaliar a segunda integral por substituição. Seja \;u=t^{3}, então \;du=3t^{2}\,dt. Quando t vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. A integral vira
\int_{0}^{1} 3t^{2}(t^{3}+1)e^{t^{3}}\,dt = \int_{0}^{1} (u+1)e^{u}\,du.
Reconhecemos que
\frac{d}{du}\bigl(u e^{u}\bigr) = e^{u}+u e^{u} = (u+1)e^{u},
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\int_{0}^{1} (u+1)e^{u}\,du = \Bigl[u e^{u}\Bigr]_{0}^{1} = 1\cdot e^{1} - 0 = e.

Passo 9

Somar os dois resultados obtidos:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf r = e + e = 2e.

Resposta

2e

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