Considere
e
dada por
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde estão dadas as seguintes informações:
e a curva
é parametrizada por
para
.
Lista dos dados importantes:
.
.
A integral a calcular é .
Lista dos dados importantes:
A integral a calcular é
Passo 2
Método prático: usar a parametrização da curva. Regra que usaremos (explicação didática):
A integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada ,
, é
A integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada
Intuição rápida:
é o vetor de deslocamento infinitesimal e fazemos produto escalar com
avaliado nos pontos da curva, depois integramos em
.
Passo 3
Calcular
derivando componente a componente:
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva, ou seja, substituir
:
Passo 5
Fazer o produto escalar
multiplicando componentes correspondentes e somando:
Passo 6
Montar a integral em
sobre
:
É conveniente separar em duas integrais:
Passo 7
Avaliar a primeira integral reconhecendo uma derivada conhecida. Observe que
Portanto
Passo 8
Avaliar a segunda integral por substituição. Seja
, então
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. A integral vira
Reconhecemos que
logo
Passo 9
Somar os dois resultados obtidos: