Mostre que as integrais são independentes do caminho e determine seus valores.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral
é independente do caminho e determinar seu valor entre os pontos
e
. Informações relevantes fornecidas: a forma diferencial é dada por
com
e
. Os pontos inicial e final são
e
.
Passo 2
Interpretação clara do que estamos calculando: trata-se de uma integral de linha (ou integral de uma forma diferencial) do tipo
onde
é algum caminho de
a
. Para que a integral seja independente do caminho (isto é, o valor dependa só dos pontos extremos), precisamos que a forma seja exata em uma região simplesmente conexa que contenha o caminho. A forma é exata se existe uma função potencial
tal que
Passo 3
Critério prático para verificar exatidão: se
e
têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa e
então a forma
é exata nessa região. Vamos calcular essas derivadas parciais para os nossos
e
.
Calculemos
. Como
não depende de
,
Calculemos
. Como
não depende de
,
Portanto
. Além disso
e
são polinômios, portanto têm derivadas parciais contínuas em toda
, que é uma região simplesmente conexa. Logo a forma é exata e a integral é independente do caminho.
Passo 4
Agora vamos encontrar a função potencial
cuja derivada parcial em
e em
dá
e
. Começamos integrando
em relação a
:
onde
é uma função que pode depender só de
(constante de integração em relação a
).
Passo 5
Para determinar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando em
,
onde
é constante. Assim uma função potencial é
A constante
não altera o valor da integral entre dois pontos, então podemos ignorá-la ao avaliar diferenças.
Passo 6
Pelo Teorema Fundamental para integrais de linha de formas exatas (teorema da integral de gradiente), a integral entre
e
é simplesmente a diferença do potencial nos pontos finais:
Calculemos
e
com
(omitindo
):
Logo a integral vale
.
Passo 7
Verificação opcional (segurança mental): se você preferir, pode calcular a integral ao longo de qualquer caminho concreto e confirmar que dá o mesmo resultado. Por exemplo:
- Ao longo da reta
parametrizada por , temos e a integral vira
- Ao longo do caminho em duas etapas: primeiro
de a com , depois de a com , obtém-se também .
Isso confirma a independência do caminho e o valor calculado.