Mostre que as integrais são independentes do caminho e determine seus valores.
\int_{(0,0)}^{(2,2)} x^{2} d x+y^{2} d y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral
\int_{(0,0)}^{(2,2)} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy
é independente do caminho e determinar seu valor entre os pontos (0,0) e (2,2). Informações relevantes fornecidas: a forma diferencial é dada por P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy com P(x,y)=x^{2} e Q(x,y)=y^{2}. Os pontos inicial e final são (0,0) e (2,2).

Passo 2

Interpretação clara do que estamos calculando: trata-se de uma integral de linha (ou integral de uma forma diferencial) do tipo
\int_{\gamma} P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy,
onde \gamma é algum caminho de (0,0) a (2,2). Para que a integral seja independente do caminho (isto é, o valor dependa só dos pontos extremos), precisamos que a forma seja exata em uma região simplesmente conexa que contenha o caminho. A forma é exata se existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=P(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y}=Q(x,y).

Passo 3

Critério prático para verificar exatidão: se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa e
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},
então a forma P\,dx+Q\,dy é exata nessa região. Vamos calcular essas derivadas parciais para os nossos P e Q.
Calculemos \partial P/\partial y. Como P(x,y)=x^{2} não depende de y,
\frac{\partial P}{\partial y}=0.
Calculemos \partial Q/\partial x. Como Q(x,y)=y^{2} não depende de x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=0.
Portanto \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x=0. Além disso P e Q são polinômios, portanto têm derivadas parciais contínuas em toda \mathbb{R}^{2}, que é uma região simplesmente conexa. Logo a forma é exata e a integral é independente do caminho.

Passo 4

Agora vamos encontrar a função potencial F(x,y) cuja derivada parcial em x e em y P e Q. Começamos integrando P em relação a x:
\frac{\partial F}{\partial x}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad F(x,y)=\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + h(y),
onde h(y) é uma função que pode depender só de y (constante de integração em relação a x).

Passo 5

Para determinar h(y), diferenciamos F(x,y) em relação a y e igualamos a Q(x,y):
\frac{\partial F}{\partial y}=h'(y)=y^{2}.
Integrando em y,
h(y)=\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3} + C,
onde C é constante. Assim uma função potencial é
F(x,y)=\frac{x^{3}}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C.
A constante C não altera o valor da integral entre dois pontos, então podemos ignorá-la ao avaliar diferenças.

Passo 6

Pelo Teorema Fundamental para integrais de linha de formas exatas (teorema da integral de gradiente), a integral entre (0,0) e (2,2) é simplesmente a diferença do potencial nos pontos finais:
\int_{(0,0)}^{(2,2)} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy = F(2,2)-F(0,0).
Calculemos F(2,2) e F(0,0) com F(x,y)=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{y^{3}}{3} (omitindo C):
F(2,2)=\frac{2^{3}}{3} + \frac{2^{3}}{3} = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3},
F(0,0)=\frac{0^{3}}{3}+\frac{0^{3}}{3}=0.
Logo a integral vale \dfrac{16}{3}.

Passo 7

Verificação opcional (segurança mental): se você preferir, pode calcular a integral ao longo de qualquer caminho concreto e confirmar que dá o mesmo resultado. Por exemplo:
  • Ao longo da reta y=x parametrizada por x=t,\\ y=t,\\ t\in[0,2], temos dx=dt,\\ dy=dt e a integral vira
\int_{0}^{2} (t^{2}+t^{2})\,dt = \int_{0}^{2} 2t^{2}\,dt = 2\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3},
  • Ao longo do caminho em duas etapas: primeiro x de 0 a 2 com y=0, depois y de 0 a 2 com x=2, obtém-se também \dfrac{16}{3}.
    Isso confirma a independência do caminho e o valor calculado.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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