Calcule
para:
, sendo
a curva dada por
,
para
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a campo vetorial e a curva são dadas. Informações fornecidas:
a curva
é dada pela parametrização
As perguntas que o enunciado faz: calcular o valor numérico de
.
Passo 2
Lembrete do conceito e da fórmula que vamos usar (sem resolver ainda): para uma curva parametrizada por
, com
, a integral de linha de um campo vetorial
é
Aqui
significa avaliar cada componente do campo em
, e
é a derivada componente a componente. O produto
é o produto escalar usual entre vetores.
Passo 3
Escrevemos a parametrização vetorial
explicitamente (peguei os dados do enunciado):
Isto só reúne
em um vetor, para entrar direto na fórmula do Passo 2.
Passo 4
Calculamos a derivada
componente a componente. Lembre-se: a derivada de
é
, da
é
, e de
é
. Assim
Passo 5
Agora avaliamos o campo
ao longo da curva: substituímos
,
,
em
. Isso dá
Explicando: a primeira componente do campo é
, que vira
; a segunda é
, que vira
; a terceira é
, que vira
.
Passo 6
Formamos o produto escalar
. Lembre que o produto escalar de
com
é
. Aplicando aos vetores acima:
Agora simplificamos termo a termo:
,
, e
. Então
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
para simplificar:
Observação pedagógica: essa simplificação é muito comum e salva tempo em provas — sempre cheque se aparece
.
Passo 7
Agora substituímos na fórmula da integral de linha e resolvemos a integral de uma variável. Pelo Passo 2,
Calculamos termo a termo:
. E
. Somando,
Passo 8
Interpretação final e incentivo: o cálculo ficou bem simples graças à parametrização e à identidade trigonométrica. É normal ficar inseguro no começo, mas esse tipo de integral costuma reduzir a uma integral em
bem direta. Parabéns por encarar a questão — está indo bem!