Calcule \int_{c} \vec{f} d \vec{r} para:
\bar{f}(x, y, z)=(y,-x, z), sendo C a curva dada por x=\operatorname{sen}(t), y=\cos (t), z=2 t para 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_{C} \vec{f}\,d\vec{r} onde a campo vetorial e a curva são dadas. Informações fornecidas:
\vec{f}(x,y,z) = (y, -x, z),
a curva C é dada pela parametrização
x=\sin(t),\quad y=\cos(t),\quad z=2t,\quad 0\le t\le \pi.
As perguntas que o enunciado faz: calcular o valor numérico de \int_{C} \vec{f}\,d\vec{r}.

Passo 2

Lembrete do conceito e da fórmula que vamos usar (sem resolver ainda): para uma curva parametrizada por \vec{r}(t), com a\le t\le b, a integral de linha de um campo vetorial \vec{f} é
\int_{C}\vec{f}\,d\vec{r} = \int_{a}^{b} \vec{f}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui \vec{f}(\vec{r}(t)) significa avaliar cada componente do campo em (x(t),y(t),z(t)), e \vec{r}\,'(t) é a derivada componente a componente. O produto \cdot é o produto escalar usual entre vetores.

Passo 3

Escrevemos a parametrização vetorial \vec{r}(t) explicitamente (peguei os dados do enunciado):
\vec{r}(t) = (\sin t,\; \cos t,\; 2t),\qquad 0\le t\le \pi.
Isto só reúne x(t),y(t),z(t) em um vetor, para entrar direto na fórmula do Passo 2.

Passo 4

Calculamos a derivada \vec{r}\,'(t) componente a componente. Lembre-se: a derivada de \sin t é \cos t, da \cos t é -\sin t, e de 2t é 2. Assim
\vec{r}\,'(t) = (\cos t,\; -\sin t,\; 2).

Passo 5

Agora avaliamos o campo \vec{f} ao longo da curva: substituímos x=\sin t, y=\cos t, z=2t em \vec{f}(x,y,z)=(y,-x,z). Isso dá
\vec{f}(\vec{r}(t)) = (\cos t,\; -\sin t,\; 2t).
Explicando: a primeira componente do campo é y, que vira \cos t; a segunda é -x, que vira -\sin t; a terceira é z, que vira 2t.

Passo 6

Formamos o produto escalar \vec{f}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t). Lembre que o produto escalar de (a,b,c) com (A,B,C) é aA+bB+cC. Aplicando aos vetores acima:
\vec{f}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = (\cos t)(\cos t) + (-\sin t)(-\sin t) + (2t)(2).
Agora simplificamos termo a termo: (\cos t)(\cos t)=\cos^{2}t, (-\sin t)(-\sin t)=\sin^{2}t, e (2t)(2)=4t. Então
\vec{f}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = \cos^{2}t + \sin^{2}t + 4t.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 para simplificar:
\vec{f}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = 1 + 4t.
Observação pedagógica: essa simplificação é muito comum e salva tempo em provas — sempre cheque se aparece \cos^{2}+\sin^{2}.

Passo 7

Agora substituímos na fórmula da integral de linha e resolvemos a integral de uma variável. Pelo Passo 2,
\int_{C}\vec{f}\,d\vec{r} = \int_{0}^{\pi} \bigl(1 + 4t\bigr)\,dt.
Calculamos termo a termo: \int_{0}^{\pi} 1\,dt = \bigl[t\bigr]_{0}^{\pi} = \pi. E \int_{0}^{\pi} 4t\,dt = 4\cdot \int_{0}^{\pi} t\,dt = 4\cdot \bigl[\tfrac{1}{2}t^{2}\bigr]_{0}^{\pi} = 4\cdot \tfrac{1}{2}\pi^{2} = 2\pi^{2}. Somando,
\int_{0}^{\pi} (1+4t)\,dt = \pi + 2\pi^{2}.

Passo 8

Interpretação final e incentivo: o cálculo ficou bem simples graças à parametrização e à identidade trigonométrica. É normal ficar inseguro no começo, mas esse tipo de integral costuma reduzir a uma integral em t bem direta. Parabéns por encarar a questão — está indo bem!

Resposta

\pi + 2\pi^{2}

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