Calcule \int_{c} \vec{f} d \vec{r} para:
\vec{f}(x, y)=\left(x^{2} y, x z\right), sendo C o arco de parábola x=y^{2} do ponto (0,0) ao ponto (4,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{f}\cdot d\vec{r}
onde foi dada a campo vetorial \vec{f}(x,y)=\left(x^{2}y,\; xz\right) e C é o arco da parábola x=y^{2} do ponto (0,0) até (4,2).
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Curva: } C:\; x=y^{2},\; \text{de }(0,0)\text{ até }(4,2).\\\ &\text{Pontos finais: } (0,0)\\ \text{corresponde a } y=0,\quad (4,2)\\ \text{corresponde a } y=2.\\\ &\text{Campo vetorial (como dado): } \vec{f}(x,y)=\left(x^{2}y,\; xz\right). \end{aligned}é
Observação importante (assunção que vou usar): o campo está escrito com uma variável z na segunda componente, mas a curva e os pontos são no plano xy (não há terceira coordenada). Portanto vou assumir que houve um erro de digitação e que a segunda componente é xy (ou seja, \vec{f}(x,y)=\big(x^{2}y,\;xy\big)). Se o problema original realmente tivesse z, faltaria informação sobre a coordenada z da curva; por isso assumo \vec{f}(x,y)=\big(x^{2}y,\;xy\big).

Passo 2

Explicando o método (sem tirar conclusões ainda): para calcular \int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r} usamos uma parametrização da curva C, substituímos \vec{r}(t) no campo \vec{f}, calculamos \vec{r}\,'(t) e fazemos a integral do produto escalar \vec{f}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) no intervalo do parâmetro.
Agora parametrizamos a parábola x=y^{2}. Uma escolha natural é usar t como a coordenada y:
\vec{r}(t)=\big(x(t),y(t)\big)=\big(t^{2},\,t\big),
com t variando de 0 a 2 (pois y=0 corresponde a t=0 e y=2 corresponde a t=2).

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização (vetor tangente):
\vec{r}\,'(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{2},\,t\big)=\big(2t,\;1\big).
Explicação rápida: derivada de t^{2} é 2t; derivada de t é 1. Esse vetor indica a velocidade com que percorremos a curva.

Passo 4

Substituímos a parametrização na função \vec{f}. Lembrando a assunção feita no Passo 1, usamos
\vec{f}(x,y)=\big(x^{2}y,\;xy\big).
Agora \vec{f}(\vec{r}(t)) é
\vec{f}\big(t^{2},t\big)=\Big((t^{2})^{2}\cdot t,\; t^{2}\cdot t\Big)=\big(t^{4}\cdot t,\; t^{2}\cdot t\big)=\big(t^{5},\;t^{3}\big).
Detalhe: (t^{2})^{2}=t^{4}, e multiplicando por t t^{5}. Na segunda componente x y = t^{2}\cdot t = t^{3}.

Passo 5

Formamos o produto escalar \vec{f}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t):
\vec{f}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)=\big(t^{5},t^{3}\big)\cdot\big(2t,1\big)=t^{5}\cdot(2t)+t^{3}\cdot 1.
Calculando os produtos:
t^{5}\cdot(2t)=2t^{6},\qquad t^{3}\cdot 1=t^{3},
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\vec{f}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)=2t^{6}+t^{3}.
Explicação do conceito: o produto escalar entre (a,b) e (c,d) é ac+bd. Aqui usamos isso para transformar a integral de linha vetorial em uma integral usual em t.

Passo 6

Agora a integral de linha vira uma integral de t no intervalo 0\le t\le 2:
\int_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2}\big(2t^{6}+t^{3}\big)\,dt.
Vamos integrar termo a termo. Lembrete da regra de potência: para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}.
Aplicando:
\int 2t^{6}\,dt = 2\cdot\frac{t^{7}}{7}=\frac{2}{7}t^{7}, \qquad \int t^{3}\,dt=\frac{t^{4}}{4}.
Portanto uma primitiva é
F(t)=\frac{2}{7}t^{7}+\frac{1}{4}t^{4}.

Passo 7

Avaliamo a primitiva nos limites 0 e 2:
\left[\frac{2}{7}t^{7}+\frac{1}{4}t^{4}\right]_{0}^{2} = \left(\frac{2}{7}\cdot 2^{7} + \frac{1}{4}\cdot 2^{4}\right) - \left(\frac{2}{7}\cdot 0^{7} + \frac{1}{4}\cdot 0^{4}\right).
Calculando as potências:
2^{7}=128,\qquad 2^{4}=16.
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\frac{2}{7}\cdot 128 = \frac{256}{7},\qquad \frac{1}{4}\cdot 16 = 4.
Somando:
\frac{256}{7}+4 = \frac{256}{7}+\frac{28}{7}=\frac{284}{7}.

Passo 8

Conclusão final da conta: a integral de linha vale \dfrac{284}{7}.

Resposta

\dfrac{284}{7}

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