Calcule
para:
, sendo
o arco de parábola
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde foi dada a campo vetorial
e
é o arco da parábola
do ponto
até
.
Informações relevantes fornecidas:
Observação importante (assunção que vou usar): o campo está escrito com uma variável
na segunda componente, mas a curva e os pontos são no plano
(não há terceira coordenada). Portanto vou assumir que houve um erro de digitação e que a segunda componente é
(ou seja,
). Se o problema original realmente tivesse
, faltaria informação sobre a coordenada
da curva; por isso assumo
.
Passo 2
Explicando o método (sem tirar conclusões ainda): para calcular
usamos uma parametrização da curva
, substituímos
no campo
, calculamos
e fazemos a integral do produto escalar
no intervalo do parâmetro.
Agora parametrizamos a parábola
. Uma escolha natural é usar
como a coordenada
:
com
variando de
a
(pois
corresponde a
e
corresponde a
).
Passo 3
Calculamos a derivada da parametrização (vetor tangente):
Explicação rápida: derivada de
é
; derivada de
é
. Esse vetor indica a velocidade com que percorremos a curva.
Passo 4
Substituímos a parametrização na função
. Lembrando a assunção feita no Passo 1, usamos
Agora
é
Detalhe:
, e multiplicando por
dá
. Na segunda componente
.
Passo 5
Formamos o produto escalar
:
Calculando os produtos:
logo
Explicação do conceito: o produto escalar entre
e
é
. Aqui usamos isso para transformar a integral de linha vetorial em uma integral usual em
.
Passo 6
Agora a integral de linha vira uma integral de
no intervalo
:
Vamos integrar termo a termo. Lembrete da regra de potência: para
,
Aplicando:
Portanto uma primitiva é
Passo 7
Avaliamo a primitiva nos limites
e
:
Calculando as potências:
Logo
Somando:
Passo 8
Conclusão final da conta: a integral de linha vale
.