Mostre que a integral curvilínea
é independente do caminho e ache seu valor.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que a integral curvilínea
é independente do caminho e calcular o seu valor entre os pontos
e
.
Informações dadas que vamos usar:
são as componentes do campo de vetores cuja diferencial é
.
Os pontos inicial e final são e
.
Os pontos inicial e final são
Passo 2
Conceito importante (explicado de forma simples): uma forma diferencial
é exata (ou o campo é conservativo) em uma região simplesmente conexa se existe uma função potencial
tal que
Um critério prático e muito usado: se
e
têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa e
então a forma é exata (isto é, o campo é conservativo) e a integral de linha entre dois pontos independe do caminho.
Aqui a região é todo
(que é simplesmente conexa), então basta verificar a igualdade das derivadas parciais.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais pedidas, de forma bem passo a passo:
pois derivada de
em relação a
é
e de
em relação a
é
.
pois derivada de
em relação a
é
e de
em relação a
é
.
Como
, a condição é satisfeita em toda
.
Portanto a forma é exata e a integral é independente do caminho. Isso também garante a existência de uma função potencial
com
.
Passo 4
Agora vamos achar explicitamente a função potencial
. Começamos integrando
em relação a
:
Integramos termo a termo:
Então obtemos, adicionando uma função arbitrária de
(pois a derivada em
dela é zero):
onde
é uma função desconhecida que depende só de
.
Passo 5
Determinamos
impondo
. Calculemos
:
Mas sabemos que isso deve ser igual a
. Igualando:
Subtraindo
dos dois lados, obtemos
. Assim
é constante:
.
Portanto uma função potencial é
(A constante
não altera diferenças de valores de
, então podemos ignorá-la ao calcular integrais de linha.)
Passo 6
Como a integral é independente do caminho, a integral curvilínea entre
e
vale
Calculemos
e
usando
(esquecendo a constante):
Fazendo a diferença:
Resposta
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