(1,5) Mostre que a integral curvilínea \int_{(-1,2)}^{(3,1)}\left(y^{2}+2 x y\right) d x+\left(x^{2}+2 x y\right) d y é independente do caminho e ache seu valor.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que a integral curvilínea
\int_{(-1,2)}^{(3,1)}\left(y^{2}+2 x y\right)\,dx+\left(x^{2}+2 x y\right)\,dy
é independente do caminho e calcular o seu valor entre os pontos (-1,2) e (3,1).
Informações dadas que vamos usar:
P(x,y)=y^{2}+2xy,\qquad Q(x,y)=x^{2}+2xy
são as componentes do campo de vetores cuja diferencial é P\,dx+Q\,dy.
Os pontos inicial e final são (-1,2) e (3,1).

Passo 2

Conceito importante (explicado de forma simples): uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy é exata (ou o campo é conservativo) em uma região simplesmente conexa se existe uma função potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P\quad\text{e}\quad\frac{\partial f}{\partial y}=Q.
Um critério prático e muito usado: se P e Q têm derivadas parciais contínuas numa região simplesmente conexa e
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},
então a forma é exata (isto é, o campo é conservativo) e a integral de linha entre dois pontos independe do caminho.
Aqui a região é todo \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexa), então basta verificar a igualdade das derivadas parciais.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais pedidas, de forma bem passo a passo:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}+2xy\big)=2y+2x,
pois derivada de y^{2} em relação a y é 2y e de 2xy em relação a y é 2x.
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+2xy\big)=2x+2y,
pois derivada de x^{2} em relação a x é 2x e de 2xy em relação a x é 2y.
Como \frac{\partial P}{\partial y}=2y+2x=\frac{\partial Q}{\partial x}, a condição é satisfeita em toda \mathbb{R}^2.
Portanto a forma é exata e a integral é independente do caminho. Isso também garante a existência de uma função potencial f com \nabla f=(P,Q).

Passo 4

Agora vamos achar explicitamente a função potencial f(x,y). Começamos integrando P em relação a x:
f(x,y)=\int P(x,y)\,dx=\int\big(y^{2}+2xy\big)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int y^{2}\,dx = x y^{2}\quad(\text{pois }y\text{ é tratado como constante ao integrar em }x),é
\int 2xy\,dx = x^{2}y\quad(\text{pois }\int 2x\,dx = x^{2}).
Então obtemos, adicionando uma função arbitrária de y (pois a derivada em x dela é zero):
f(x,y)=x y^{2}+x^{2}y+g(y),
onde g(y) é uma função desconhecida que depende só de y.

Passo 5

Determinamos g(y) impondo \frac{\partial f}{\partial y}=Q. Calculemos \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}+x^{2}y+g(y)\big)=2xy+x^{2}+g'(y).
Mas sabemos que isso deve ser igual a Q(x,y)=x^{2}+2xy. Igualando:
2xy+x^{2}+g'(y)=x^{2}+2xy.
Subtraindo 2xy+x^{2} dos dois lados, obtemos g'(y)=0. Assim g(y) é constante: g(y)=C.
Portanto uma função potencial é
f(x,y)=x y^{2}+x^{2}y + C.
(A constante C não altera diferenças de valores de f, então podemos ignorá-la ao calcular integrais de linha.)

Passo 6

Como a integral é independente do caminho, a integral curvilínea entre (-1,2) e (3,1) vale
f(3,1)-f(-1,2).
Calculemos f(3,1) e f(-1,2) usando f(x,y)=x y^{2}+x^{2}y (esquecendo a constante):
f(3,1)=3\cdot 1^{2}+3^{2}\cdot 1=3+9=12,
f(-1,2)=(-1)\cdot 2^{2}+(-1)^{2}\cdot 2 = -1\cdot 4 + 1\cdot 2 = -4+2=-2.
Fazendo a diferença:
f(3,1)-f(-1,2)=12-(-2)=14.

Resposta

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