Encontrar o plano tangente e vetor normal em
.
.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos a superfície dada por
e o ponto
. O que a questão pede:
- Encontrar o plano tangente à superfície em
. - Encontrar um vetor normal ao plano (em
).
Informações dadas:
- A função que define a superfície é
. - O ponto de tangência é
. - Observação útil (não resolver ainda): é preciso verificar que
está realmente sobre a superfície (ou seja, que ).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho). Para uma superfície escrita como
, o plano tangente em
é dado pela fórmula (linearização):
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a (mostra a inclinação da superfície quando mudamos só ). -
é a derivada parcial de em relação a (mostra a inclinação quando mudamos só ).
Essa fórmula vem da aproximação linear da função de duas variáveis; em prova, decorre direto da expansão em primeira ordem.
Também é útil saber que um vetor normal ao plano tangente é dado por
ou, alternativamente,
. Ambos são normais (só diferem por sinal).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Vamos usar a regra da cadeia para exponenciais:
- A derivada de
em relação a é . - Para
tratamos como constante, então a derivada de em relação a é . - Para
tratamos como constante, então a derivada de em relação a é .
Portanto:
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
. Primeiro confirmamos que
está na superfície:
portanto a coordenada
bate com a superfície — ótimo.
Agora as derivadas em
:
Passo 5
Escrever o plano tangente substituindo na fórmula da Passo 2. Com
,
e
, temos:
Simplificando:
Essa é a equação do plano tangente. Interpretação rápida: perto de
a superfície se comporta como essa reta plana — é a melhor aproximação linear.
Passo 6
Encontrar um vetor normal. Usando a fórmula
avaliada em
, obtemos:
Observações úteis para a prova:
- Qualquer múltiplo escalar de
também é normal, por exemplo (que é vezes o vetor acima). - Se quiser o versor normal (unitário), basta dividir por
, obtendo .
Passo 7
Checagem final e dica prática. Verifique rapidamente que o plano passa por
: para
a RHS dá
, que é
. As inclinações parciais do plano (coeficientes de
e
) são exatamente
e
, como esperado. Na prova: calcule derivadas parciais, avalie no ponto, substitua na fórmula — esse é o passo-a-passo seguro.
Resposta
Plano tangente:
.\nVetor normal:
.