Encontrar o plano tangente e vetor normal em P.
z=e^{x+2 y}, P=(0,0,1).

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos a superfície dada por \;z=e^{x+2y}\; e o ponto \;P=(0,0,1)\;. O que a questão pede:
  • Encontrar o plano tangente à superfície em P.
  • Encontrar um vetor normal ao plano (em P).
Informações dadas:
  • A função que define a superfície é \;f(x,y)=e^{x+2y}\;.
  • O ponto de tangência é \;P=(0,0,1)\;.
  • Observação útil (não resolver ainda): é preciso verificar que P está realmente sobre a superfície (ou seja, que f(0,0)=1).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho). Para uma superfície escrita como \;z=f(x,y)\;, o plano tangente em \;(x_0,y_0,f(x_0,y_0))\; é dado pela fórmula (linearização):
z - f(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui:
  • \,f_x é a derivada parcial de f em relação a x (mostra a inclinação da superfície quando mudamos só x).
  • \,f_y é a derivada parcial de f em relação a y (mostra a inclinação quando mudamos só y).
    Essa fórmula vem da aproximação linear da função de duas variáveis; em prova, decorre direto da expansão em primeira ordem.
Também é útil saber que um vetor normal ao plano tangente é dado por
\mathbf{n}=(-f_x(x_0,y_0),\,-f_y(x_0,y_0),\,1),
ou, alternativamente, \mathbf{n}=(f_x,f_y,-1). Ambos são normais (só diferem por sinal).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de \;f(x,y)=e^{x+2y}\;. Vamos usar a regra da cadeia para exponenciais:
  • A derivada de \;e^{u}\; em relação a u é \;e^{u}\;.
  • Para \;f_x\; tratamos y como constante, então a derivada de x+2y em relação a x é 1.
  • Para \;f_y\; tratamos x como constante, então a derivada de x+2y em relação a y é 2.
Portanto:
f_x(x,y)=e^{x+2y}\cdot 1 = e^{x+2y},
f_y(x,y)=e^{x+2y}\cdot 2 = 2e^{x+2y}.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto \;P=(0,0,1)\;. Primeiro confirmamos que P está na superfície:
f(0,0)=e^{0+2\cdot 0}=e^{0}=1,
portanto a coordenada z=1 bate com a superfície — ótimo.
Agora as derivadas em (0,0):
f_x(0,0)=e^{0+0}=1,
f_y(0,0)=2e^{0+0}=2.

Passo 5

Escrever o plano tangente substituindo na fórmula da Passo 2. Com (x_0,y_0,f(x_0,y_0))=(0,0,1), f_x(0,0)=1 e f_y(0,0)=2, temos:
z - 1 = 1\cdot (x-0) + 2\cdot (y-0).
Simplificando:
z = 1 + x + 2y.
Essa é a equação do plano tangente. Interpretação rápida: perto de (0,0) a superfície se comporta como essa reta plana — é a melhor aproximação linear.

Passo 6

Encontrar um vetor normal. Usando a fórmula \mathbf{n}=(-f_x,-f_y,1) avaliada em (0,0), obtemos:
\mathbf{n}=(-1,\,-2,\,1).
Observações úteis para a prova:
  • Qualquer múltiplo escalar de \mathbf{n} também é normal, por exemplo (1,2,-1) (que é -1 vezes o vetor acima).
  • Se quiser o versor normal (unitário), basta dividir por \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6}, obtendo \dfrac{1}{\sqrt{6}}(-1,-2,1).

Passo 7

Checagem final e dica prática. Verifique rapidamente que o plano passa por P: para x=0,y=0 a RHS dá 1, que é z. As inclinações parciais do plano (coeficientes de x e y) são exatamente f_x(0,0) e f_y(0,0), como esperado. Na prova: calcule derivadas parciais, avalie no ponto, substitua na fórmula — esse é o passo-a-passo seguro.

Resposta

Plano tangente: \;z=1+x+2y.\nVetor normal: \;(-1,-2,1).

Exercícios relacionados